Діагоналі рівнобедренної трапеції взаємно перпендикулярні, а середня лінія дорівнює 8 см

1. рассмотрим угол АВС. он смежный с внешним углов в 150°, значит, равен 180°-150°=30°. в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. то есть, АС=0,5АВ, 4=0,5АВ, откуда АВ=8.
ответ: 8 см
4. рассмотрим угол ВСD. он смежный с внешним углом при вершине С, сумма смежных углов всегда 180°, поэтому он равен 180°-150°=30°. опять же, катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, поэтому ВD=ВС:2=24:2=12. рассмотрим треугольник АВD. в нём угол ВАD смежный с внешним углом при вершине А, поэтому он равен 180°-135°=45°. найдём угол АВD по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника, он равен 90°-45°=45°. таким образом, углы при основании треугольника ABD равны, значит, он равнобедренный. боковые стороны у таких треугольников тоже равны, значит AD=BD=12.
ответ: 12

Через точку к А плоскости альфа проведены наклонные АВ, АС и перпендикуляр АО. АВ=2а. углы между прямыми АВ, АС и плоскостью альфа равны 30 и 45 градусов соответственно. найдите длины перпендикуляра АО наклонной АС и её проекцииПо условию перпендикуляр АО, наклонные АВ и АС и их проекции ОВ иОС  образуют прямоугольные треугольники АОВ и ВОС (угол О- прямой). Поскольку угол ОСА=45⁰, то треугольник АОС - прямоугольный равнобедренный, следовательно перпендикуляр АО равен ее проекции АО.

В треугольнике АОВ угол АВО=30⁰. В прямоугольном треугольнике катет, что лежит против угла 30⁰ в 2 раза меньше гипотенузы, имеем АО=2а/2=а, также АО=ОС=а.

Из треугольника АОС: АС= а/sin45⁰=а√2.

ответ: АО=а, ОС=а, АС=а√2