Точки M и N делят окружность на две дуги, малая дуга равна 100°, а большая делится точкой A в соотношении 3:2, если считать от точки N. Найди угол АМN.

1

теорема косинусов

а)

вс^2=ab^2+ac^2 - 2*ab*ac*cosa=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97

bc=√97 см

б)

ac^2=ab^2+bc^2 - 2*ab*bc*cosb=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127

ас=√127 см

2

теорема косинусов

а)

cos120= - cos60

np^2=mn^2+mp^2 -2 mn*mp*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=

=49+225-2*7*15*(-1/2)=379

np=√379 см

б)

np^2=

3

cos120= - cos60

а) меньшую диагональ (вd)

лежит напротив   острого угла < 60

bd^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52

bd=√52=2√13 см

б) большую диагональ (ас)

лежит напротив тупого угла < 120

ac^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148

ac=√148=2√37 см

4

а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos< a

196=64+100 - 160*cos< a

32= - 160*cos< a

cos< a= - 32/160 =-1/5= -0.2

б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos< b

400=144+196-336* cos< b

60 =-336* cos< b

cos< b = - 60/336 = - 5/28

5

диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник

значит третий угол треугольника  < a=180-20-60=100 град

дальше по теореме синусов

a/sin20=b/sin60=d/sina=25/sin100

a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см

b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см

6

угол < с=180-< a-< b=180-30-40=110

по теореме синусов

ac/sin< b=bc/sin< a=ab/sin< c=2r

ac/sin40=bc/sin30=16/sin110

ac=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см

bc= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см

радиус описанной окружности

ab/sin< c=2r

r= ab/(2*sin< c)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см

7

8

углы параллелограмма а и в - односторонние

< a - напротив диагонали d1

< b=180-< a - напротив диагонали d2

cosa= - cosb=

d1^2=a^2+b^2-2ab*cosa

d2^2= a^2+b^2-2ab*cosb = a^2+b^2-2ab*(-cosa)= a^2+b^2+2ab*cosa

d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosa + a^2+b^2 +2ab*cosa = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2   )

доказано сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (четырех)сторон

9

10

11

12

13

 

1

теорема косинусов

а)

ВС^2=AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cosA=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97

BC=√97 см

б)

AC^2=AB^2+BC^2 - 2*AB*BC*cosB=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127

АС=√127 см

2

теорема косинусов

а)

cos120= - cos60

NP^2=MN^2+MP^2 -2 MN*MP*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=

=49+225-2*7*15*(-1/2)=379

NP=√379 см

б)

NP^2=

3

cos120= - cos60

а) меньшую диагональ (ВD)

лежит напротив  острого угла <60

BD^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52

BD=√52=2√13 см

б) большую диагональ (АС)

лежит напротив тупого угла <120

AC^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148

AC=√148=2√37 см

4

а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos<A

196=64+100 - 160*cos<A

32= - 160*cos<A

cos<A= - 32/160 =-1/5= -0.2

б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos<B

400=144+196-336* cos<B

60 =-336* cos<B

cos<B = - 60/336 = - 5/28

5

диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник

значит третий угол треугольника  <A=180-20-60=100 град

дальше по теореме синусов

a/sin20=b/sin60=d/sinA=25/sin100

a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см

b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см

6

угол <С=180-<A-<B=180-30-40=110

по теореме синусов

AC/sin<B=BC/sin<A=AB/sin<C=2R

AC/sin40=BC/sin30=16/sin110

AC=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см

BC= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см

радиус описанной окружности

AB/sin<C=2R

R= AB/(2*sin<C)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см

7