Чому важлива розв'язання конфліктів конструктивно ?​

По условию угол С в 5 раз меньше суммы двух других углов треугольника, т.е. ∠А+∠В=5∠С 
Внешний угол треугольника  равен сумме двух других, не смежных с ним. 
Тогда угол, смежный с углом С, равен 5 углов С, а их сумма равна 180º.
∠C+5∠C=180°⇒
6∠C=180°
∠C=30°
Внешний угол при С=180°-30°=150°
∠А=∠В+50°
2∠В+50°=150°⇒
∠В= (150°-50°):2=50°⇒
∠А=50°+50°=100°
АН- биссектриса ∠А, делит его пополам и отсекает от ∆ АВС треугольник АВН с   углами при АВ по 50°
Сумма углов треугольника 180°⇒
∠АНВ=180°-100°=80°
∠АНС=180°-80°=100° ( и смежный, и как  внешний = ∠АВН+∠ВАН)

 

Раз Вы даете еще очки, беру... копирую свое же решение :) со всем комментариями.

Ну, все Ваши трудности из за того, что Вы не видите, что угол D - тупой. Поэтому вершина С проектируется не на основание AD, а на продолжение её за точку D.

Обозначения. Е - середина AD, M - проекция В на AD, К - проекция С на продолжение AD.

x = АМ, y = DK, h = BM = CK (это высота трапеции).

1. Вы правильно нашли основания. Треугольник CED равнобедренный, потому что угол CED равен углу ECB, который равен углу ECD, потому что СЕ - биссектриса. Поэтому CD = DE = 9, и AD = 18 (Е - середина AD). Далее, поскольку в трапецию можно вписать окружность,сумма боковых сторон равна сумме оснований, откуда второе основание равно 17 + 9 - 18 = 8.

2. Осталось найти высоту. 

Ясно, что AD = AM + MK - DK = AM + BC - DK; откуда 18 = x - y + 8; x - y = 10;

Далее, x^2 + h^2 = 17^2; y^2 + h^2 = 9^2; если вычесть одно из другого, получится

x^2 - y^2 = 17^2 - 9^2 = 208; или (x + y)*(x - y) = 208; с учетом x - y = 10 получается

x + y = 20,8

x - y = 10

Отсюда x = 15,4; y = 5,4; 

h^2 = 9^2 - y^2; легко сосчитать, что h = 7,2.

Небольшое отступление (если бы не оно, я бы и не стал делать эту очень сложную :) задачу). Три числа 5,4; 7,2; 9 с коэффициентом 1,8 кратны первой Пифагоровой тройке 3,4,5 (проверьте:)). Вот с числами 7,2; 15,4; 17 - интереснее (это стороны треугольника АВМ). Здесь "срабатывает" редкая для школьных задач Пифагорова тройка 36, 77, 85 - стороны треугольника АВМ в 5 раз меньше.

S = 7,2*(18 + 8)/2 = 93,6 = 438/5;

Диагональ АС получается из треугольника АКС, в котором АК = 15,4 + 8 = 23,4; CK = 7,2;

AC^2 = 23,4^2 + 7,2^2 = 599,4 = (81/25)*185; откуда получается ответ.

 

Судя по "истории задания " тут и этой задачи идет какая-то не здоровая возня. Поскольку сама по себе задача элементарная, в случае возникновения каких-то "сомнений"  я разрешаю смело удалять мое решение и там и там.