Задача. Дан прямоугольный треугольник АВС ( угол С- прямой Проекции катетов АС и ВС на гипотенузу равны соответственно 6, 4 и 3, 6. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке М. Найдите длины всех сторон треугольника АВС, длины всех медиан, а также длины отрезков АМ, МА1, ВМ, ВМ1, СМ и МС1.

Примем длину одного из катетов за х (см), тогда длина второго равна 28 - х (см). Тогда по теореме Пифагора: 20² = (28 - х)² + х², то есть 400 = 784 - 56х + 2х², а значит, 2х² - 56х + 384. Поделим все уравнение на 2, тогда х² - 28х + 192. Т.к. коэффициент b (при х) четный, то посчитаем D/4 = (b/2)² - ac = (-28/2)² - 192 = 14² - 192 = 196 - 192 = 4 = 2². Тогда х1 = ( -b/2 + √(D/4) ) / a = ( - (-28/2) + √4 ) / 1 = 14 + 2 = 16 (см). А х2 = ( -b/2 - √(D/4) ) / a = ( - (-28/2) - √4 = 14 - 2 = 12. В первом случае длина 2го катета равна 28 - 16 = 12 см, тогда площадь равна их полупроизведению, а именно: S(прям. ∆) = ab/2, где а и b - длины катетов в одних и тех же единицах длины. Тогда S (прям. ∆) = ab/2 = 16*12/2 = 16*6 = 96 см². При решении квадратного уравнения мы получили 2 корня, но, как мы видим, их сумма = 28, а значит, достаточно рассмотреть один из них и посчитать площадь. Может на всякий случай проверить: если же полученный х = 12, то длина второго катета равна 28 - 12 = 16 (см), а S(прям. ∆ ) = ab/2, где а и b - длины катетов в одних и тех же единицах длины. Тогда S(прям. ∆ ) = ab/2 = 12*16/2 = 12*8 = 96 см². ответ: S(прям. ∆) с катетами в 12 и 16 см равна 96 см².

Построение.
Проводим прямую "а". От прямой "а" откладываем данный нам угол, для чего берем произвольную точку А на этой прямой и от нее строим угол, равный данному.
Для этого произвольным раствором циркуля проводим окружности с центрами в вершине А данного нам угла и в точке А на прямой "а".
На данном нам угле получаем точки "m" и "n", а на прямой "а" - точку М. Радиусом r=mn с центром в точке М проводим окружность и в месте пересечения двух окружностей ставим точку N.
Проведя прямую AN получаем вторую сторону данного нам угла.
На этих сторонах откладываем циркулем отрезки АС и АВ, равные данному отрезку "а" и четырем отрезкам "а" соответственно.
Соединив точки В и С, получаем искомый треугольник АВС.