Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно диагонали основания пирамиды.найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

ребро, высота пирамиды (проведенная из вершины на основание) и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник (высота же: боковое ребро играет роль гипотенузы, а половина диагонали - роль прилежащего катета искомого угла, причем этот катет в 2 раза меньше гипотенузы. значит угол 60 градусов. 

s вершина, sa боковое ребро, ac диагональ, о точка пересечения диагоналей, тогдо треугольник aso прямоуг. и ао в два раза меньше as,тогда угол наклона угол sao равен 60 гр.(так ка угол aso=30) или пусть as=x, тогда ao=x/2, cos sao=(x/2)/x=1/2, значит угол sao=60 гр.

если двугранные углы при основании пирамиды равны, то основание высоты пирамиды - это центр вписанной в треугольник основания окружности.

находим боковые стороны "в" и "с" основания:

в = с = √((12/2)² + 10²) = √(36 + 100) = √136 = 2√34.

площадь основания s = (1/2)*12*10 = 60 см².

полупериметр р = (2*2√34 + 12)/2 = (2√34 + 6) см.

радиус вписанной окружности r = s/p = 60/(2√34 + 6 = 30/(√34 + 3).

так как угол наклона боковых граней равен 45 градусов, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности.

ответ: н = r = 30/(√34 + 3).

доказательство:

вспомним теорему фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

эта теореме подходит для доказательства того, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

пусть у трапеции abcd,   ad и bc - основания , ac диагональ, n -середина диагонали. em - средняя линия. из свойств средней линии трапеции:

em||bc||ad.

cm = md и em||bc, тогда по теореме фалеса em проходит через точку n.

ae = eb и em||bc, тогда по теореме фалеса   em проходит через точку n.

следовательно: an = nc.