ТЕ Діагоналі осьового перерізу циліндра взаємно перпендикулярні, а периметр осьового перерізу дорівнює 16 см. Знайдіть об’єм циліндра.

Ну вот пусть там площади четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, S1, S2, S3, S4, тогда
S1 + S2 = S3 + S4;
S1 + S4 = S3 + S2; 
следовательно S2 - S4 = S4 - S2; то есть S2 = S4; само собой и S1 = S3;
Теперь, если отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагонали, как x, y - для одной диагонали  z, w - для другой, то, x/y = S1/S2; и y/x = S3/S4 = S1/S2; так как у смежных треугольников есть общая высота к "основаниям", то есть к сторонам x и y, откуда стороны относятся, как площади.
Поэтому x = y; аналогично z = w; 
Получилось, что диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам. 
Я, конечно, могу продолжить доказывать, но тут можно и остановиться - дальше вам на уроках должны были объяснять. Вкратце - "вертикальные" треугольники не просто имеют равные площади, они вообще оказались равными, откуда следует параллельность сторон.

Ну, вот треугольник ABC, С - прямой угол; CH - высота, оба треугольника ACH и BCH - подобны ABC; 
AB = c; AC = c*sin(α); BC = c*cos(α); α = угол ABC; 
то есть sin(α) и cos(α) - коэффициенты подобия (то есть отношение соответственных сторон треугольников ACH и ABC равно sin(α), отношение соответственных сторон треугольников BCH и ABC равно cos(α))
Ясно, что и радиусы вписанных окружностей связаны той же пропорцией (а почему?)
r1 = r*sin(α); r2 = r*cos(α);
откуда 
r^2 = (r1)^2 + (r2)^2;

Есть любопытное следствие. Если O, O1, O2 - центры этих трех окружностей, то OC = O1O2; : а вот докажите :