Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 0), B(2; 3), C(3; 0), D(-1; -1 Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин  A(-1; 0), B(2; 3),C(3; 0), D(-1; -1). Найдите косинус острого угла между диагоналями AC и BD.

ответ:  3/5    =0,6      

Объяснение:  α = AC^BD

AC ={3 -(-1)  ; 0 -0}    AC ={ 4  ; 0}    ;    |AC| =4  

BD ={-1 -2  ; -1  -3}     BD ={ -3  ; -4}  ;  |BD| =√( (-3)²+(-4)²) =√(9 +16 ) =5

AC*BD =|AC|*|BD|cos(AC^BD) =4*5*cosα   (по определению скалярного произведения двух векторов)

AC*BD =4*(-3) +0*(-4) = - 12   (по теорему скалярного произведения двух векторов; сумма произведения соответствующих координат).

4*5*cosα = - 12   ⇔cosα = -3/ 5  < 0  (α -тупой угол)

Острый  угол  между диагоналями AC и BD  будет  смежный угол :           β =180° - α     ⇒ cosβ =cos(180° -α) = -cosα = 3/5 .

* * *  ИЛИ   | cosβ| =  | (x₁*x₂+y₁*y₂) / √(x₁²+y₁²) *√(x₂²+y₂²) * * *

 высота, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое (пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу. То есть:

высота в квадрате = произведению отрезков, на которые делит эта высота гипотенузу.
гипотенуза в квадрате = 144 + 256 = 400.  гипотенуза = 20 (корень из 400)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Cледовательно, 12^2 = гипотенуза *1 отрезок (меньший)
144 = 20 * 1 отрезок
1 отрезок = 144 :20 = 7,2
Следовательно, 2 отрезок = 20 - 7,2 = 12,8

1.
1) Пусть ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, АВ - гипотенуза, АВ=12 см. 
АС=х, ВС=х-2, Р(АВС)=26 см.
Составляем уравнение:
x+(x-2)+12=26;
2x-2+12=26;
2x+10=26;
2x=26-10;
2x=16;
x=8.
AC=8 см, ВС=8-2=6 (см).
Вообще, такого прямоугольного треугольника с катетами 6 см, 8 см, и гипотенузой 12 см не существует, так как не выполняется условие т.Пифагора:
6²+8²≠12²:
36+64≠144;
100≠144.

2.
1) Пусть ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС=2х, АС=х, Р(АВС)=15 см.
Составляем уравнение:
2х+2х+х=15;
5х=15;
х=3.
АС=3 см, АВ=ВС=2*3=6 см.
ответ: 6 см, 6 см.