Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3, BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

                                                                       * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.

* * * AD  и  BC  основания трапеции * * *

решение : Фактически нужно определить радиус окружности около трапеции KBCD. Очевидно трапеция  равнобедренная ⇒  BK = DC  и   ∡BKD + ∡DCB =180°. Необходимо определить некоторые ее элементы

1.

AB²=AD*AK  ( известная теорема)

* * *  ΔABK ~ ΔADB  * * *

AB²=(AK+KD) *AK    || AK =x > 0 ||

x(x+10) =(5√3)² ⇔ x² + 10x - 75 =0 ( корни разного знака )

x₁ = - 15 _посторонний ,  x₂ = 5 теорема  Виета ИЛИ x₁, ₂ = -5 ± 10

AK = 5

2.  

ΔABK ~ ΔDBC  (по второму  признаку )

(∡ABK = ◡ BK/2 = ∡BDK = ∡DBC  и   ∡AKB=180°- ∡BKD = ∡DCB )

AB / DB  =       AK / DC = BK/ BC  ⇔  ( учитывая    BK = DC)

AB / DB  =       AK / DC = DC/ BC    ;   DC =√AK*BC = √5*5 = 5

AB / DB  =  AK / DC   ⇒ DB = AB*DC/AK =5√3 *5/5 = 5√3 .

Все :   ΔBCD    || ΔBKD ||  определены однозначно  с тремя сторонами

Вычислить радиус окружности не представляет трудности _

в  крайнем случае можно применить  формулу   R  =  abc/4S  , где

S =√p(p-a)(p-b)(p-c)   ( площадь по формуле Герона ).

Но в данной задаче можно заметить ,что центр O  окружности   совпадает со  серединой отрезка KD.  R =OK=OD = 5  учитывая ,что    KO =DO =5= BC  ⇒ четырехугольники  KBCO , BCDO параллелограмм  поэтому  OK =DC =OB и  OD=KB =OC

* * * Расчет  длины радиуса  еще и  упрощается ввиду того , что  Δ BCD оказался  прямоугольным ,по обратной теореме Пифагора :

AB² +BD² =5² +(5√3)² =100 =10² = KD² .         ||   R =5 ||

* * * не так трудно  радиус определить  из равнобедренного  ΔBKD   со сторонами BC=CD=5 ; BD=5√3  * * *

Решение смотрите во вложении

АВ=ВС, т.к. треугольник равнобедренный, а АС - основание. 
ВК=2, АК=8, тогда, АВ=10.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, проведём биссектрису ВН: точка Н совпадёт с точкой касания окружности на стороне АС, т.к. в биссектриса, проведённая из угла В, является и высотой, и медианой, т.е. угол АНС = 90 градусов. 
АН=АК, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, т.е. АН=8, тогда АС=16. 
В прямоугольном треугольнике АВН АВ=10, АН=8, тогда по теореме Пифагора ВН=6. 
Найдём площадь треугольника: 1/2 * АС * ВН = 1/2 * 16 * 6 = 42.

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:



1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

ответ: φ/2.



ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.