Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює m, а двогранний кут при ребрі основи – α . Визначте бічну поверхню піраміди.

Обозначим треугольники буквами АВС и А1В1С1. Причем ВС=42 см, АС=14 см, АВ=40 см. т.к. треугольники подобны, то ВС:В1С1=АС:А1С1. С другой стороны А1С1+В1С1=108. Отсюда А1С1=108-В1С1. Подставим в первую формулу вместо А1С1 выражение 108-В1С1. Получим
 ВС:В1С1=АС:(108-В1С1). Решаем АС*В1С1=ВС*(108-В1С1). Для удобства записи пусть В1С1=Х, тогла 40Х=42(108-Х). Получаем Х=27=В1С1.
Коэффициент подобия этих треугольников=ВС:В1С1=42:27=14:9. т.к. треугольники подобны, то АС:А1С1=14:9. Отсюда А1С1=9*АС/14=9 см.
АВ:А1В1=14:9. Отсюда А1В1=9АВ/14= целое не выходит. Периметр это сумма длин всех сторон треугольника.

По условию в основании находится равносторонний треугольник со стороной 12 см.
а) Проекция точки К на плоскость треугольника- это основание высоты КО. Длина проекции отрезка КВ на плоскость треугольника - это 2/3 высоты треугольника (по свойству биссектрис - а в равностороннем треугольнике высоты совпадают с медианами и биссектрисами) - это отрезок ОК.
ОК = (2/3)√(12²-(12/2)²) = (2/3)√(144-36) = (2/3)√108 = (2/3)*6√3 = 4√3.
б) Расстояние от точки К до вершин треугольника - это гипотенуза в прямоугольных треугольниках, где общий катет - высота Н = 4 см, а другие катеты - это 2/3 каждой высоты треугольника:
АК = ВК = СК = √(4² + (4√3)²) = √(16 + 48) = √64 = 8 см.