В четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, а биссектрисы углов C и D — в точке Q. Прямая PQ пересекает сторону AB в точке R. Найдите угол PRB, если известно, что ∠A=60∘, ∠B=160∘, ∠C=90∘, ∠D=50∘.

По соотношению катетов треугольника видно, что это «египетский» треугольник.
Поэтому гипотенуза АВ=10 ( можно проверить по т. Пифагора)
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности найдем по формуле:
r=(а+b -с):2, где а и b катеты, с - гипотенуза
r=(8+6-10):2=2
Проведем радиусы к точкам касания.
ОМ⊥АС
ОМ =2
МС=2
АМ=8-2=6
Меньший угол треугольника АВС - угол А ( лежит против меньшей стороны)
В  прямоугольном треугольнике АМО гипотенуза АО и есть искомое расстояние от центра окружности до вершины меньшего угла. . АО=√(36+4)=√40=2√10

Объяснение:

1.

дано:а=в=10 см,с=12см -основание

найти: SΔ?

Проведём высоту к основанию ,которая одновременно является и медианой.Из образованного ею прямоугольного треугольника  с гипотенузой =10 см и катетом равным половине основания равнобедренного треугольника 12:2=6 см, найдем  второй катет.

По теореме Пифагора h=√a²-1/2c²=√10²-6²=√100-36=√64=8 см

SΔ=1/2c*h=1/2*12*8=48 см²

2.

Медиана делит гипотенузу напополам,а середина гипотенузы является центром описанной окружности .Гипотенуза является её диаметром,а медиана треугольника, проведенного из прямого угла,является её радиусом. d=2r r=d/2,значит медиана равна половине гипотенузы.