Есть пятиугольник ABCDE, углы EAB, ABC и CDE равны 88 градусов. Найдите угол ABD, если BC=CD и DE=AE.

АС||BD по условию. Используем теорему: если две параллельные прямые (в нашем случае это АС и BD) пересечены секущей (СD), то накрест лежащие углы (это ACD и BDC) равны. При пересечении этих же параллельных прямых секущей АВ накрест лежащие углы САВ и DBA также равны. Значит, треугольники АОС и BOD подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого.
Для подобных треуг-ов запишем соотношение сходственных сторон:
АО : BO = CO : DO. 
AO = AB - BO, CO = CD - DO. Т.к. АВ=CD, можно записать, что 
CO=AB -  DO.
Подставим это  в выражение отношения сходственных сторон:
(AB - BO) : BO = (AB - DO) : DO
DO*(AB - BO) = BO*(AB - DO)
DO*AB - DO*BO = BO*AB - BO*DO
DO*AB=BO*AB
DO=BO, треугольник BOD - равнобедренный

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²