висота рівнобедреного ΔABC (AB = BC), ∠ABC = 120º. Знайдіть AP, якщо BP = 7см.​

21

Объяснение:

<CBP = 180º - 120º = 60º

ΔCBP:

CB = BP/ cos 60º = 7/(1/2) = 14

AP = AB + BP = CB + BP = 14 + 7 = 21

Подробное решение. 
Сделаем  рисунок.
Очевидно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.
Докажем это.
Прямые, которые пересекают плоскости  α и β,  образуют пересекающиеся прямые.

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. притом только одну.  

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Следовательно, АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁
В  каждой паре треугольников СОВ и С₁ОВ₁, АОВ и А₁ОВ₁, АОС и А₁ОС₁  соответственно углы равны.
Один - как вертикальный, два - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.
Если углы одного треугольника равны углам  другого треугольника, зто такие треугольники подобны.
Отсюда следует подобие треугольников АВС и ,А₁В₁С₁, т.к. их стороны соответственно пропорциональны.
Итак, треугольники подобны.
В подобных треугольниках площади относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. 
Площадь треугольника АВС по формуле Герона равна 84 см² ( давать вычисления не буду, их можно сделать самостоятельно. Замечу, что такое отношение сторон треугольника встречается часто, и эту площадь многие знают наизусть.)
Найдем отношение площадей этих подобных треугольников.
S(ABC): S (A1B1C1)=336:84=4
k²=4
k=2
Следовательно, стороны треугольника А₁В₁С₁ в два раза больше сторон треугольника АВС и равны 
А₁В₁=26 см
В₁С₁=28 см
А₁С₁=30 см
Для проверки можно вычислить по ф. Герона площадь треугольника А₁В₁С₁  получим  336 см²
—————
[email protected]

Имеем дав прямоугольных треугольника с общим катетом - перпендикуляром к прямой и гипотенузами - наклонными к этой прямой. Второй катет у первого треугольника равен 2*х, у второго = 5*х (так как их отношение 2:5).
Тогда по Пифагору квадрат общего катета этих треугольников равен:
h² = 10²-4x² (1)  и h² = 17² -25x² (2). Приравниваем (1) и (2):
100-4х² = 289 - 25х², откуда 21х² = 189, х² = 9, х = 3.
Тогда длина перпендикуляра находится из (1): h = √(100-36) = √64 = 8.
ответ: длина перпендикуляра равна 8см.