В параллелограмме MNPQ на сторонах MN, NP, PQ, QM отмечены соответственно точки K, L, S, T так, что MK/PS = MT/PL = 2/3. Отрезки LT и KS пересекаются в точке O. Найдите отношение LO:LT.

LO/LT=3/5

Объяснение:

MNPQ-параллелограмм⇒MN║PQ, MQ║NP, ∠M=∠P

MK/PS = MT/PL, ∠M=∠P⇒ΔMKT~ΔPLS⇒∠PLS=∠MTK, ∠PSL=∠MKT, KT/LS=MK/PS = MT/PL=2/3

MN║PQ⇒∠MKS=∠PSK⇒

⇒∠TKO=∠MKS-∠MKT=∠PSK-∠PSL=∠LSO⇒∠TKO=∠LSO

∠KOT=∠SOL-вертикальные углы

∠TKO=∠LSO, ∠KOT=∠SOL⇒ΔKOT~ΔLOS⇒OT/LO=KT/LS=2/3

OT/OL=2/3

1+(OT/OL)=1+(2/3)

(OL+OT)/LO=5/3

LT/LO=5/3

LO/LT=3/5

Рассмотрим две окружности, касающиеся внешним образом.

MK, AB - общие касательные

MA=MK=MB; MO1, MO2 - биссектрисы (т об отрезках касательных из одной точки)

∠O1MO2 =90 (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)

∠MKO1 =90 (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

MK =√(O1K*O2K) =√(ab) (высота из прямого угла)

AB =2MK =2√(ab)

Теперь рассмотрим три окружности, для каждой пары выполняется предыдущее условие: касаются внешним образом и общей внешней касательной (c - меньший радиус).

AM =2√(ac)

BM =2√(bc)

AB =2√(ab) =AM+BM

=> √(ab) =√(ac) +√(bc)  | :√(abc)

=> 1/√c = 1/√a + 1/√b

Два случая:

1) x - меньший радиус

1/√x =1/√4 +1/√9 => 1/√x =1/2 +1/3 =5/6 => x=36/25 =1,44

2) 4 - меньший радиус

1/√4 =1/√x +1/√9 => 1/√x =1/2 -1/3 =1/6 => x=36

Пусть AD и BC пересекаются в точке E.

Отрезки касательных из одной точки равны, EA=EB, ED=EC.

△AEB, △DEC - равнобедренные => EAB =90 -E/2 =EDC => AB||DC

ABCD - трапеция

MA=MK=MD, NB=NK=NC (отрезки касательных из одной точки)

MN - средняя линия трапеции ABCD

MN =(AB+CD)/2 =(8+13)/2 =10,5

NB=NK=NC => NK=BC/2

Центры лежат на биссектрисе угла E (т.к. окружности вписаны в угол).

Точка внешнего касания окружностей K лежит на линии центров, то есть на биссектрисе угла E.

MN||AB => △MEN~△AEB =>

△MEN - равнобедренный, EK - биссектриса  и медиана, NK=MN/2

BC =MN =10,5