Вычисли радиус окружности, если отрезок касательной AK=113–√дм и ∢OAK=30°. OK= дм.

Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего. 

Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью

Sosn =20*21/2 = 210,

и грани пирамиды имеют одинаковый наклон. 

Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть  - это центр вписанной окружности.

Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r. 

Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так

Sb = (1/2)*Р*h;

где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней), 

Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.

Итак,

H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)

H = 6; это высота пирамиды

Sosn = 210; 

Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);

Полная поверхность 210*(1 + корень(2));

 

SAB - данное сечение, ∪АВ = α.

Пусть Н - середина АВ, тогда ОН⊥АВ, так как ΔАОВ равнобедренный (АО = ОВ как радиусы), SH⊥АВ, так как ΔSAB равнобедренный (SA = SB как образующие), ⇒ ∠SHO = φ - линейный угол двугранного угла наклона сечения к плоскости основания.

ΔSOH: ∠SOH = 90°, ctgφ = OH / h

             OH = h·ctgφ

ОН - медиана, высота и биссектриса ΔАОВ, ⇒ ∠АОН = α/2.

ΔАОН: ∠AHO = 90°,

             cosα/2 = OH/AO, ⇒ R = AO = OH / cosα/2

R = h·ctgφ / cosα/2

V = 1/3 πR²h = 1/3 · π · h · (h·ctgφ / cosα/2)²

V = πh³·ctg²φ / (3cos²α/2)