Нехай O- центр кола, вписаного в ABC .Знайдіть кути цього трикутника, якщо кутOAB=40* i кут OBA=30*.

Відповідь:60°,80°,40°

Пояснення:центр кола,вписаного в трикутник - точка перетину бісектрис.тоді кут А==2*40=80°,кут В=2*30=60°,кутС=180-(80+60)=40°

1.

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2

Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2

Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2

G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию

PB + EC + GA = 12

АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12

1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12

АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ

ВЕ = 3/4 ВС

CG = 3/4 AC

По условию

AP + BE + CG = 108

3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108

3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108

АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Окружность радиуса 8 - вневписанная, касается сторон двух углов - А и С,  ее центр лежит на пересечении биссектрис  этих углов, смежных с углами А и С ∆ АВС соответственно,⇒ 
СО - биссектриса и делит угол НСК пополам. .
Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис. ВН и СО₁- биссектрисы. 
СО₁  делит  угол ВСН  пополам. 
АСК - развернутый угол и равен 180º
Сумма половин углов АСН и ОСН равна половине развернутого угла. 
Угол ОСО₁=180°:2=90°⇒
∆ ОСО₁ - прямоугольный с прямым углом С.
 АН - высота и медиана равнобедренного треугольника АВС, следовательно, делит основание АС на два равных отрезка:
СН=АН=6.
СН ⊥ АН⇒ является высотой  треугольника ОСО₁. 

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒

СН²=ОН•HO₁

36=8 HO₁

HO₁=36/8=4,5 (ед. длины)