Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой . Доказать Заранее благодарен

Рассмотрим вертикальные углы АОВ1 и ВОА1. Эти углы равны между собой. Так как отрезок КО — биссектриса угла АОВ1, то угол АОМ1 = углу М1ОВ1 потому, что по определению биссектриса делит угол пополам. Тогда и угол ВОМ = углу МОА. Тогда отрезки КО и ОН лежат на одной прямой. ЧТД.

Объяснение:

Рассмотрим рисунок.

Точка К - точка вне окружностей, из которой к каждой из них до точек касания В и А к меньшей и до точек С и А к большей идут одинаковой длины отрезки.(по свойству равенства отрезков  касательных из одной точки) 

КВ=КА.

КА=КС.

ВК=КС

Проведем из центра Р меньшей окружности к радиусу ОС большей окружности  перпендикуляр РМ.

Отрезок ОМ равен разности между радиусами окружностей и равен 19-16=3 см

РМ=ВС

РМ по теореме Пифагора из треугольника РОМ равно 8√19

ВК=КС=8√19:2=4√19

АК=ВК=4√19

Сделаем рисунок.

Обозначим буквами P, Q и R центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма.

Острый угол  при вершине A обозначим α.

∠ PAQ = 1/2∠DAM +1/2∠BAN+ α = 90º+α  

∠ RBQ=360º-(180º-α) - 90º=180º- 90º+α=90º+α .

∠ PAQ =∠ RBQ
QB=AQ, BR=AP как половины равных диагоналей, а значит,

Δ PAQ = Δ RBQ.
PQ=RQ.
Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому PQ ⊥ QR.
Так же доказывается перпендикулярность других углов четырехугольника с равными сторонами.

Центры построенных на сторонах параллелограмма квадратов являются вершинами квадрата.