На сторонах ас и вс треугольника авс взяты точки к и n так, что ск: ка=2: 3, cn: nb=3: 4. в каком отношении точка пересечения отрезков an и bk делит отрезок кв ? решение и рисунок

рисунок не могу - сканер недоступен

проведем прямую ii ас через n. точку её пересечения с вк обозначим р. о - точка пересечения an и bk. 

pk/bk = cn/bc = 3/(4+3) = 3/7; pk = bk*3/7;

pn/kc = bn/bc = 4/7; pn = kc*4/7;

kc/ak = 2/3; kc = ak*2/3;  

pn = ak*(2/3)*(4/7) = ak*8/21;

из подобия aok и opn 

po/ko = pn/ak = 8/21;

отсюда

ко = pk*21/29; po = pk*8/29;

ko = bk*(3/7)*(21/29) = bk*9/29; ob = bk*20/29; ko/ob = 9/20;

 

 

Теорема . три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. доказательство: пусть abc - данный треугольник . пусть прямые, содержащие высоты ap и bq треугольника abc пересекаются в точке o. проведем через точку a прямую, параллельную отрезку bc, через точку b прямую, параллельную отрезку ac, а через точку c - прямую, параллельную отрезку ab. все эти прямые попарно пересекаются. пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам ac и bc - точка m, точка пересечения прямых, параллельных сторонам ab и bc - точка l, а прямых, параллельным ab и ac - точка k. точки klm не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ml совпадала бы с прямой mk, а значит, прямая bc была бы параллельна прямой ac, или совпадала бы с ней, то есть точки a, b и c лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . итак, точки k, l, m составляют треугольник. ma параллельно bc, и mb параллельно ac по построению. а значит, четырёхугольник macb - параллелограмм. следовательно, ma = bc, mb = ac. аналогично al = bc = ma, bk = ac = mb, kc = ab = cl. значит, ap и bq - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника klm. они пересекаются в точке o, а значит, co - тоже срединный перпендикуляр. co перпендикулярно kl, kl параллельно ab, а значит co перпендикулярно ab. пусть r - точка пересечения ab и cq. тогда cr перпендикулярно ab, то есть cr - это высота треугольника abc. точка o принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника abc. значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. что и требовалось доказать. может правильно )

1)теорема вариньона: середина сторон 4-угольника есть вершины параллелограмма(пар-ма), при этом противоположные стороны пар-ма || диагонали 4-угольника. 2)т.к. диагонали перпендикулярны, то углы в пар-ме =90=> это прямоугольник, но трапеция равнобокая  =>   диагонали равны  => равны стороны прямоугольника  => это квадрат=> сторона квадрата= =14. сторона квадрата =1/2 диагонали=> диагональ=28 откуда одна часть диагонали =12 а другая=16=> боковая сторона(как гипотенуза)= =20