Площа трикутника АВС дорівнює 36 см^2. Його ортогональна проекція – рівнобедрений прямокутний трикутник А1В1С1, гіпотенузу якого дорівнює 6√2 см. Знайдіть кут між площинами АВС і А1В1С1.

сделаем построение по условию
найдите угол между прямыми AB1 и CD1
РЕШЕНИЕ
Углы между прямой AB1  и любой прямой параллельной прямой CD1 будут равны.
Грани CDD1A1  и AFF1A1  параллельны и являются квадратами. CD1  и AF1 диагонали
этих граней, которые лежат в плоскости ACD1F1.
Сделаем параллельный перенос CD1  в AF1  и найдем угол  <B1AF1 равный искомому углу.
AB1 = AF1  - диагонали квадратов. По формуле Пифагора 
AB1 = AF1  = √ 1² + 1² = √2
В правильном шестиугольнике A1B1C1D1E1F1  все углы  120 град, тогда
в треугольнике B1A1F1  <B1A1F1  = 120 
По теореме косинусов  
B1F1² = DB1² + DF1² - 2*DB1*DF1*cos120
все ребра  равны  1
B1F1² = 1² + 1² - 2*1*1*cos120 = 3
По теореме косинусов  
B1F1² = AB1² + AF1² - 2*AB1*AF1*cos<B1AF1
cos<B1AF1 = (AB1² + AF1² - B1F1²) / (2*AB1*AF1)
cos<B1AF1 = (√2² + √2² - 3) / (2*1*1) = 1/2  = cos 60
<B1AF1 = 60 град  (или п/3)
ответ
60 град  (или п/3)

1. Соединим точки Е и F, так как они лежат в одной грани, так же точки F и К.

A₁F = AK как половины равных ребер,

A₁F║ AK, так как лежат на противоположных сторонах прямоугольника,

∠A₁АК = 90°, ⇒ A₁FKА - прямоугольник, значит

FK ║ AA₁, а значит FK ║ (АА₁В).

Секущая плоскость (EFK) проходит через FK и пересекает плоскость (АА₁В), значит линия пересечения параллельна прямой FK.

(Теорема: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой)

Проведем ЕТ ║ АА₁, тогда ЕТ ║ FK.

EFKT - искомое сечение.

АА₁ ⊥ (АВС) , FK ║ АА₁, значит FK⊥(АВС).

Так как сечение проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания, то оно перпендикулярно плоскости основания,

(EKF) ⊥ (АВС).

2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

A₁C² = AB² + AA₁² + AD²

AD = √(A₁C² - AB² - AA₁²) = √(56 - 16 - 36) = √4 = 2