Если радиус окружности 4 см, можно ли вписать окружность со стороной 8.5 см?​

Если рассуждать   логически то  если  точка p  лежит  внутри треугольника. То  площадь каждого треугольника в 3  раза меньше   площади ABC. Тогда  если провести высоты  из точки p на стороны  и высоты данного треугольника. То высота  треугольника   на данную сторону в 3 раза  больше маленькой высоты на   данную сторону. То  из  теоремы Фалеса  следует. Что  точка P  лежит на отрезке  паралельном  стороне треугольника   и делящем  боковые стороны в отношении 2:1   cчитая от   вершины. Другими словами  она находится в точке   пересечения отрезков  параллельных основаниям  и делящим другие стороны в   отношении 2:1 ,считая  от противолежащих вершин.
НО в  целом медианы тоже cекутся как   2:1. Поэтому из   теоремы фалеса точка  p1.  Точка пересечения медиан. Что  в принципе и следовало ожидать :)
Если   точка  p лежит  вне треугольника. То   из рисунка  видно  что если   S  площадь нашего  треугольника. S1-площади полученных. То
2S1-S1=S    S1=S. То  есть высоты равны. Точек лежащих   вне треугольника   всегда 3  лежащих  за каждой из сторон треугольника.
Точек лежащих на стыке сторон (на продолжениях высот треугольников нет тк  S=S1-2S1<0 )  
Из сказанного  выше следует что для того чтобы найти эти 3 точки  достаточно провести через каждую вершину треугольника  прямую  параллельную противолежащей стороне. Точки пересечения  и дадут 3 данные точки. Таким образом  точек всегда 4.
Удачи :)

Медиана ВК делит сторону АС на АК=КС и ΔАВС на 2 равных по площади
Sавк=Sсвк=Sавс/2=20
Биссектриса АД угла ΔАВС делит противоположную сторону ВС в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:
 AB/AC=BD/CD=3/2
Т.к. АС=2АК, то АВ/2АК=3/2, АВ/АК=3
Также биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам:
 Sасд/Sавс=CD/BC=2/5
Sасд=2/5*Sавс=16  
AE также является биссектрисой ΔABK, тогда
AB/AK=BE/ЕК=3, ВК=ВЕ+ЕК=3ЕК+ЕК=4ЕК
Sаек/Sавк=ЕК/ВК=1/4
Sаек= 1/4*Sавк=5  
Площадь четырёхугольника ЕДCK
Sедск= Sасд-Sаек=16-5=11