Прямоугольные треугольники, изображенные на рисунке, будут равны

Пусть А - начало координат

Ось Х - АВ

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точек

А1 (0;0;1)

B1 (1;0;1)

D1(0;1;1)

C1(1;1;1)

B(1;0;0)

Уравнение плоскости АВ1D1

- проходит через начало координат

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

B1 D1

a+c=0

b+c=0

Пусть с = -1 тогда а =1 b =1

x+y-z=0

Уравнение плоскости ВА1С1

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

В А1 С1

а+d = 0

c+ d = 0

a+b+c+d= 0

Пусть d = -1 тогда а=1 c=1 b= -1

x-y+z-1=0

Косинус искомого угла между плоскостями равен

| (1;1;-1) * (1;-1;1) | / | (1;1;-1) | / | (1;-1;1) | = | 1-1-1 | / √3 / √3 = 1/3

Угол arccos (1/3)

Найти площадь треугольника, координаты вершин которого А(-1;-7), В(3;1) и С(4;-13).

Есть несколько вариантов решения.

1) Прямо по координатам вершин по формуле:

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

1/2 |x1-x3           y1-y3|

       |x2-x3          y2-y3|

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

x1-x3           y1-y3

x2-x3          y2-y3  =

-1 - 4           -7 - (-13)

3 - 4            1 - (-13) =  

-5 6

-1 14    =  -5*14 - (-1)*6 = -64

По формуле получаем:S = (1/2)*|-64| = 32 кв. ед.

2) вышеприведенное решение - основано на векторном произведении.

Площадь равна половине модуля векторного произведения векторов

АВ и АС.

Находим векторы.

АВ = (3-(-1); 1-(-7)) = (4; 8)

АС = (4-(-1); -13-(-7)) = (5; -6).

Находим их векторное произведение с применением схемы Саррюса.

i        j        k|       i        j

4       8       0|     4        8

5      -6       0|     5       -6  = 0i + 0j  - 24k - 0j - 0i - 40k = 0i + 0j - 64k.

Модуль равен √(0² + 0² + (-64)²) = 64.

Тогда площадь S = (1/2)*64 = 32 кв. ед.

3) Можно применить формулу Герона, предварительно определив длины сторон.

Координаты векторов сторон      

АВ (c)               BC (a)                AС (b)  

x y                 x y              x y  

4 8                 1 -14             5 -6  

     

Длины сторон  АВ (с) = 16 64 80  = 8,94427191

                          BC (а) =  1 196 197  = 14,03566885

                          AC (b) = 25 36 61  = 7,810249676

Полупериметр р =  15,39509522

Площадь по Герону    15,39509522 6,450823307 1,359426369 7,584845541  = 32.