На стороне AC треугольника ΔABC отмечены точки M и N (M принадлежит[AN] Известно, что AM=MN=NC. Возможно ли при этом равенство углов

Нет

Допустим, что углы ABM=MBN=NBC

1.Тогда рассмотрим Треугольник АВN:

т.к. угол ABM равен углу MBN, следовательно BM биссектриса. т.к. АМ равен МN следовательно ВМ медиана. ВМ медиана и биссектриса, следовательно треугольник АВN равнобедренный, следовательно ВМ высота, следовательно угол ВМN = 90°.

2. Так же рассмотрим треугольник МВС:

т.к. угол CBN равен углу MBN, следовательно BN биссектриса. т.к. NC равен МN следовательно BN медиана. ВN медиана и биссектриса, следовательно треугольник MBC равнобедренный, следовательно ВN высота, следовательно угол BNM = 90°.

3. получается, треугольник BNM - равнобедренный, при основании равные углы по 90°. но такого быть не может, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

1)равные отрезки имеют  равные длины.
2)геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки, называется углом.
3) Угол, больший прямого угла, но меньший развернутого, называется тупым.
4) Вертикальные углы равны.
5) В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.
6)В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
7)треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным.
8) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
9) точка, от которой все точки окружности расположены на заданном расстоянии, называется центром окружности.  

10) часть окружности, ограниченная двумя точками, называется дугой.
11) если две параллельные прямые пересечены секущей, то для односторонних углов верно утверждение - их сумма равна 180°.
12) Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.
13) сумма углов треугольника равна 180°.
14) отрезок, проведенный из точки к прямой под углом, отличным от прямого, называется наклонной.
15) расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой –  отрезок, проведенный перпендикулярно между этими прямыми.

Сторона равностороннего треугольника  А3= R√3(через радиус описанной окружности).                                                                                                         Значит, А3= 10√3*√3= 30. Сторона равностороннего треугольника А3 = 2r√3 (через радиус вписанной окружности).
Выражаем радиус вписанной окружности:                                                                                                                   r = А3 / 2√3 r = 30 / 2√3 = 15/√3= 15√3/ 3 = 5√3
ответ: радиус вписанной окружности равен 5√3.