Установіть відповідність між геометричними перетвореннями точки А (1-4) та координати її образу при цих перетвореннях (А-Д 1) симетрія відносно початку координат. 2) симетрія відносно осі Ох. 3) симетрія відносно площини хОz. 4) симетрія відносно площини уОz. А)(-1;-1;-1). Б)(1;1;1). В)(1;1;-1). Г)(-1;-1;1). Д)(-1;1;-1)​

Решение и подробное объяснение:

 

1) Стороны AB и AC правильного треугольника ABC лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Найти площадь треугольника ABC, если точки B и C удалены от прямой пересечений плоскостей на 3√2

 

Формула площади правильного треугольника

S=(а²√3):4
Рассмотрим рис.№1
Расстояние от В и С до прямой пересечений плоскостей - это проекции сторон АВ и АС на эту прямую.
Сторону треугольника найдем из равнобедренного прямоугольного треугольника ВОС
Пусть АВ=ВС=АС=а
а²=(ВО²+ОС²)=(3√2)²+(3√2)²=36
а=6
S=(а²√3):4=36√3):4=9√3
------------

2) Концы отрезка AB лежат в двух перпендикулярных плоскостях и удалены от прямой их пересечения на 6 и 7. Найти длину отрезка AB, если расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек A и B к прямой пересечения, равны 6.

 

Рассмотрим рисунок №2.

АМ = расстояние от А до прямой пересечения плоскостей.
ВН - расстояние от В до прямой пересечения плоскостей.
Угол АНВ - прямой по теореме о трех перпендикулярах:

 

Если прямая (ВН), проведенная на плоскости через основание наклонной(АН), перпендикулярна её проекции (МН), то она перпендикулярна и наклонной.

В треугольнике АМВ отрезок АМ, лежащий в плоскости α, перпендикулярен линии пересечения плоскостей α и β, потому перпендикулярен ВМ, лежащему в плоскости β

ВН перпендикулярна НМ по условию ( расстояние от В до линии пересечения).
Найдем из треугольника ВМН сторону ВМ по тепореме Пифагора:
ВМ²=МН²+ВН²=72
Из треугольника АВМ найдем наклонную АВ:
АВ²=АМ²+ВМ²=49+72=121
АВ=√121=11

----------------
Можно АВ найти из треугольника АНВ:
АН=√(МН²+АМ²)=√(36+49)=√85
АВ=√(85+36)=√121=11

Докажем сначала, что это параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть точка О1(х;у) середина АС тогда

х=(-6+6)/2=0; у=(1-4)/2=-1,5.

Пусть точка О2(х;у) середина BD тогда

х=(0+0)/2=0; у=(5-8)/2=-1,5.

Значит О1 совпадает с О2 - значит ABCD параллелограмм.

О(0;-1,5) - точки пересечения его диагоналей.

Докажем что это прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны то он прямоугольник.

АС^2=(6+6)^2+(-4-1)^2

АС^2=12^2+(-5)^2

АС^2=144+25

AC^2=169

AC=13

BD^2=(0+0)^2+(-8-5)^2

BD^2=0^2+(-13)^2

BD^2=0+169

BD^2=169

BD=13

AC=BD

ABCD - прямоугольник