5. (А) Окружность высекает на сторонах угла ранные хорди. Докажите, что се центр лежит на биссектрисе этого угла

1.3) Теорема. От любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом – только один.

 Если данный направленный отрезок – нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Пусть отрезок – ненулевой. Проведем через точку С прямуюl, параллельную (АВ). Направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен ) и иметь длину |АВ|. От точки С можно отложить ровно два таких отрезка – обозначим изи(рис. 4), причем(почему?). В силу (Н4) если, то, а если, то. Таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать.

(1.4) Теорема. Все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов – не равны.

 Зафиксируем произвольную точку О, и для каждого направленного отрезка , исходящего из этой точки, обозначим через К() класс (т.е., совокупность) всех равных ему отрезков. При этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки О. Поскольку любые два отрезка из одного и того же класса К() равны отрезку, они равны и между собой (теорема 1.2). Теперь допустим, что нашлись равные отрезкиК() иК(). Но тогда===, откуда по той же теореме 1.2=. Таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. В частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться.

Поскольку угол тупой, то это не может быть угол при основании. А поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны (180-120)/2=30, а наша медиана также является биссектрисой и высотой. Значит нам нужно найти катет трямоугольного треугольника с углами 30 и 60 градусов, второй катет которого равен √21. Мы знаем углы, знаем один из катетов, значит второй катет мы можем вычислить через тангенс угла.
Tg30=1/√3 это отношение противолежащего катета к прилежащему. Прилежащий нам известен. Получаем равенство: 1/√3=х/√21
х=√21/√3=√7
Медиана равна √7см