Вершины A и D четырехугольника ABCD соединены с серединой M стороны BC, а вершины B и C – с серединой N стороны AD. а) Докажите, что если середины отрезков AM, DM, BN, CN не лежат на одной прямой, то четырехугольник с вершинами в этих серединах – параллелограмм. б) Найдите площадь этого параллелограмма, если AD = 6, BC = 8, а угол между прямыми BC и AD равен 30 .

Задача сводится к решению планиметрической задачи на отыскание радиуса круга, вписанного в осевое сечение конуса, т.к.  осевое  сечение  - равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — его диаметр . Вписанный в этот треугольник круг - это круг, радиус которого равен радиусу шара.

поэтому  чтобы найти радиус шара, достаточно найти радиус круга, вписанного в треугольник. он равен частному от деления площади треугольника на полупериметр треугольника. Если в треугольнике опустить высоту на основание, то она равна √(17²-8²) =√(25*9)=15/см/, площадь треугольника равна 15*8=120/см²/, а полупериметр (2*17+2*8)/2=17+8=25, искомый радиус 120/25=24/5=4.8/см/

1) Тангенс двугранного угла при основании правильной треугольной пирамиды равен Н/((1/3)h), где Н - высота пирамиды, h - высота основания.

Тангенс угла наклона ребра к плоскости основания равен Н/((2/3)h).

Отсюда видим, что тангенс двугранного угла при основании правильной треугольной пирамиды больше тангенса угла наклона ребра к плоскости основания в 2 раза.

2) Двугранный угол при основании равен β. tgβ = H / r.

  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен α.

  tgα = H / R.

Так как R = r/*( cos 30°) = r / (√3/2), то R / r = (2/3)*√3.

ответ: (tgα/tgβ)^2 = 9/12 = 0,75.