Вправильной четырёхугольной пирамиде sabcd (s-вершина) m-середина sa, k-середина sc. найти угол между плоскостями bmk и abc? ab=6, sc=8.

пирамида правильная, значит в основании квадрат. высота пирамиды so где точка о-пересечение диагоналей квадрата .рассмотрим осевое сечение аsс. в нём ас=6 корней из2(диагональ квадрата основания). мк-средняя линия треугольника аsс она пересекает высоту so в точке n. тогда on=so/2=(корень из( аsквадрат-аоквадрат)/2=(корень из46)/2. проведём в треугольнике мвк высоту вn(в равнобедренном треугольнике она же и медиана). тогда искомый угол будет равен углу между вn и её проекцией во на плоскость авс. во=ао=(6 корней из 2)/2=корень из 18.      тангенс искомого угла равен on/bo=0,5*(корень из 46)/(корень из 18)=(корень из 3)/2. по таблице угол 40 градусов 54 мин.

стороны треугольника относятся как 5: 3: 7. 

найдите стороны подобного ему треугольника, у которого:

а) периметр= 45 см;  

б)меньшая сторона= 5 см;  

в) большая сторона= 7 см;  

г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см.

решение:

а) в периметре данного треугольника 5+3+7=15  равных частей. 

45: 15=3 см - длина, которая приходится на 1 часть. соответственно стороны равны:

1) 3•5=15 см 

2) 3•3=9 см

3) 3•7=21 см

б) если меньшая сторона равна 5 см, то она содержит 3 части, и длина одной части равна:

5: 3=5/3 см (одна часть)

тогда вторая сторона равна 5•5/2=25/3=8  ¹/₃  см

длина третьей стороны равна 7•5/3=35/3=11  ²/₃ см

в) если большая сторона 7 см, то длина одной части 7: 7=1 см, и стороны треугольника равны 5 см, 3 см, 7 см. 

г) если разность большей и меньшей стороны 2 см, то эта разность равна 7-3=4 частям. 

тогда длина одной части 2: 4=0,5 см

стороны треугольника равны 0,5•5=2,5 см;   0,5•3=1,5 см; 0,5•7=3,5 см

1) скалярное произведение векторов равно: p*q = /p/*/q/*cosa , где а - угол между векторами. 2) p*q = (3a+2b)(a+5b) = = 3a^2 +15ab +2ab+ 10b^2 = = 3a^2 + 17ab + 10b^2 = 3*1 + 17*0 + 10*1 =13, 3) вычислим кв.длины: p^2 = (3a + 2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2 = = 9*1 + 12*0 + 4*1 = 13. т. длина равна /p/ = v13 4) аналогично: q^2 = (a + 5b)^2 = a^2 + 10ab + 25b^2 = = 1 + 10*0 + 25*1 = 26, /q/ = v26 5) cosa = p*q / [/p/*/q/*] = 13/v[13*26] =v13/v26= 1/v2 =[v2]/2 6) a = arccos{[v2]/2} +,-2pi*n n = 0, 1, 2, 3.. б 2pi*n- период; ответ: а = arccos{[v2]/2} +,-2pi*n v - кв. корень