Тест по геометрии 1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно.2) Если треугольник равносторонний, то:а) он равнобедренный; б) все его углы равны;в) любая его высота является биссектрисой и медианой.3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем.4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно.5) Если треугольник равнобедренный, тоа) он равносторонний; б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;в) ответы а) и б) неверны.6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем.

Відповідь:

Нехай ∆АВС - даний рівнобедрений трикутник (АВ = ВС).

AD - висота, АК - бісектриса, ∟KAD = 15°.

Знайдемо кути ∆АВС.

Розглянемо ∆AKD.

∟ADK = 90°, ∟AKD = 90° - ∟KAD,

∟AKD = 90° - 15° = 75°. ∟BKA + ∟AKD = 180° (як суміжні).

∟BKA = 180° - 75° = 105°.

Нехай ∟BAK = ∟KAC = х (АК - бісектриса). ∟BAC = 2х.

3 ∆ВАК: ∟B = 180° - (∟BAK + ∟BKA),

∟B = 180° - (х + 105°) = 180° - х - 105° = 75° - х.

Розглянемо ∆АВС.

∟A = ∟C = 2х (∆АВС - рівнобедрений).

∟A + ∟C + ∟B = 180°, 2х + 2х + 75 - х = 180; 3х = 105; х = 35.

∟A = ∟C = 2 • 35° = 70°, ∟B = 75° - 35° = 40°.

Дана задача має один розв'язок, так як висота i бісектриса, проведені

з вершини рівнобедреного трикутника до основи співпадаютъ, а за умо-

вою кут між ними 15°.

Пояснення:

Даны два равнобедренных треугольника. У каждого из вершины к основанию проведена медиана, которая в свою очередь, в равнобедренных треугольниках, является и биссектрисой и высотой. Поэтому каждый наш равнобедренный треугольник (и первый и второй) делятся медианой два одинаковых прямоугольных треугольника (они равны по двум сторонам - высоте и боковой стороне - и углу между ними).
Если мы докажем, что один прямоугольный треугольник нашего первого равнобедренного треугольника равен прямоугольному треугольнику второго нашего равнобедренного треугольника, то докажем равенство равнобедренных треугольников с одинаковой медианой и одинаковым углом при вершине.
Итак, у обоих треугольников равны высоты (наша медиана), равны прилегающие к высоте углы, один из которых прямой, другой равен половинке угла при вершине. А эти углы равны, т.к. одинаковые углы при вершине делятся биссектрисой пополам. Отсюда, наши равнобедренные треугольники равны по стороне и двум прилегающим углам.