Вписанная в ромб окружность делит его сторону на отрезки 12 см и 3 см. Вычисли длину вписанной в ромб окружности (π=3, 14 (ответ округли до сотых.)

В трапеции ABCD биссектриса угла BAD проходит через точку М, которая является серединой CD. Известно, что АВ=5, АМ=4.  Найдите длину отрезка ВМ.

По условию СМ=CD. 

Решить задачу можно разными

Проведем МК || AD - по т. Фалеса она делит АВ в отношении DM:MC т.е. на АК=КВ. 

В ∆ АКМ ∠КМА= ∠МАD - как накрестлежащие. 

∠МАD=∠МАК- как половины ∠КАD

∠КАМ=∠КМА⇒

∆ АКМ -  равнобедренный, и АК=КМ. 

Но КМ=АК=КВ ⇒ ∆ ВКМ равнобедренный, ⇒ ∠КВМ=∠КМВ. 

Углу КМВ равен накрестлежащий ∠ СВМ. ⇒ ВМ - биссектриса угла СВК. 

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180º

Тогда сумма их половин равна 90º, и угол ВМА=180º-90º=90º

∆ АВМ - прямоугольный. Отношение катета АМ к гипотенузе АВ 3:5⇒ ∆ АВМ - египетский, и ВМ=3 (ед. длины) ( по т.Пифагора получим ту же величину). 

Доказав, что ∆ АКМ - равнобедренный, проведем в нем высоту КН. Она же - медиана, и АН=НМ. 

Тогда КН - средняя линия ∆ АВМ, и КН || ВМ, откуда следует, что угол ВМА=90º, ∆ АВМ - египетский и ВМ=3  (ед. длины). 

на любителей т. косинусов)

По т. косинусов можно из ∆ КАМ найти косинус угла КАМ, затем по ней  той же теореме длину ВМ.

 Вычисления приводить не буду - пользовалась при нахождении косинуса инженерным калькулятором. Без него значения будут лишь приближенными. Таким образом найден 

 cos ∠КАМ=0,8.

Тогда ВМ²=5²+4²-2•5•4•0,8 ⇒

BM²=25+16-32=9

BM=3 (ед. длины)

 Определение 1. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Величина двугранного угла равна его линейному углу.

 Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

  Расстояние от точки до прямой  и от точки до плоскости равно длине проведенного между ними перпендикуляра.

Обозначим грани угла  α и β, ребро - а  Пусть  точки А и В лежат в плоскости грани β. Длина перпендикуляра ВМ=6√2, перпендикуляра AM=4√2.

Опустим из т.А и т.В перпендикуляры ВС и АК на грань α. ВМ - наклонная, СМ - ее проекция на  плоскости грани α. По т. о 3-х перпендикулярах СМ⊥ребру а. ⇒ Угол ВАС - искомый.

В треугольнике ВМС отрезки АК||ВС, ⇒ острые углы прямоугольных ∆ ВСМ  и АМК равны, эти треугольники подобны.

 По условию ВС+АК=10 см Примем длину АК=х см. Тогда ВС=10-х см.           Из подобия следует отношение х:(10-х)=4√2:6√2, ⇒ х•6√2=(10-x)•4√2. Откуда  получим 5х=20 см, х=4 см. Из прямоугольного треугольника АКМ sinAMK=АК:АМ=4:4√2=1/√2, что равно √2/2, –  синусу 45°.  Величина данного двугранного угла 45°.