В остроугольном треугольнике МСК проведена высота МВ. Найдите СК, если ∡М = 80° , ∡К = 40°, МС = 12, КВ = 5.

Дано:

△MCK - остроугольный.

MB - высота.

∠M = 80˚.

∠K = 40˚.

MC = 12 см.

KB = 5 см.

Найти:

CK.

Решение:

Т.к. MB - высота ⇒ ∠MBK = ∠MBC = 90˚

∠BMK = 180 - (40 + 90) = 50°

⇒ ∠CBM = 30˚

Теорема.

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

CB = 12 : 2 = 6 см.

⇒ CK= 6 + 5 = 11 см.

ответ: 11 см.

Высота в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой, значит АД=ДС, угол АВД= углу ДВС.
Равенства треугольников АВД и ВДС можно доказать по всем трем признакам равенства треугольников:
1)по двум сторонам и углу между ними: АВ=ВС из дано, сторона ВД общая и угол АВД равен углу ДВС
2)по стороне и двум прилежащим углам:сторона ДВ общая, углы АВД и  ДВС равны, углы АДВ и ВДС равны и прямые, так как ВД - высота.
3) по трем сторонам: АВ=ВС из дано, сторона ВД одщая, и АД равно ДС, так как ВД это и медиана тоже.

Решение:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника находится по формуле:
R=√3/3 - где а-сторона треугольника
Высота в таком треугольнике можно найти по формуле:
h=√3/a*a - где а -сторона треугольника
По этой формуле найдём сторону равностороннего треугольника:
а=h : √3/2  или:  а=3 : √3/2=3*2/√3=6/√3 (см)
Подставим найденное значение стороны треугольника в формулу для нахождения радиуса описанной окружности:
R=√3/3 *6/√3=√3*6/3*√3=6/3=2 (см)

ответ: Высота данного треугольника равна 2см