В треугольнике ABC к стороне AB проведён серединный перпендикуляр, пересекающий BC в точке K так, что AK = 8, CK=3, 2. Найдите BC ​

О - точка пересечения диагоналей ВD и АС. ВО/OD=2/5. h=BC=4
1) Тр-ки ВОС и AOD подобны по трем соответственно равным углам (1 пара вертикальных и 2 пары накрест лежащих). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: BC/AD=BO/OD; AD=BC*OD/BO=4*5/2=10.
2) Проведем две высоты ВN и СМ. Высоты разделят нижнее основание на отрезки;
NM=BC=4; AN=MD=(AD-NM)/2=3.
3) Тр-к ABN с катетами BN=4 и AN=3 - египетский. Значит, гипотенуза АВ=5. (А можно найти АВ по теореме Пифагора),
4) Р=2*АВ+BC+AD=10+4+10=24 см.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему пропорциональному отрезков на которые она делит гипотенузу.
Например, в треугольнике АВС с прямым углом С и высотой СН, СН=√(АН·ВН).

Катет равен среднему пропорциональному проекции катета на гипотенузу и всей гипотенузы.
АС=√(АН·АВ),
ВС=√(ВН·АВ).

Эти формулы выводятся из подобия треугольников, которые образуются при проведении высоты.
Высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.