Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:3, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 28см.

ответ:7

Объяснение:28:4

ответ 7

Пусть х и у - основания трапеции.  Средняя линия - полусумма оснований. Значит имеем первое уравнение сиситемы: х+у = 58

Треугольники ВОС и АОД - подобны ( у них равны все углы).

Значит стороны пропорциональны:

АО/ОС = АД/ВС = ОД/ВО

Но ОД/ВО = (2/3):0,3 = (2*10)/(3*3) = 20/9.

Значит АО:ОС = 20:9

Также относятся и основания АД/ВС:

х/у = 20/9

Таким образом получили систему:

х+у = 58       домножим на 20:     20х+20у = 1160

9х-20у = 0                                     9х-20у = 0        Сложим и получим:

29х = 1160     х = 40     у = 18

ответ: Основания 40 см и 18 см;  АО:ОС = 20:9

Треугольник А1ОА9 - равнобедренный с углом при вершине 120о , поэтому при радиусе окружности R  его площадь равна

R^2 * sin 120o / 2 = R^2 * корень(3) / 4

В данном случае она составляет  2 * корень(3), поэтому 

R^2 / 4 = 2 ,  откуда  R = корень(8)

В треугольнике А1А6А7 сторона А1А7 - диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). Сторону А1А6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона - радиус, а угол при вершине 150о.

А1А6^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos 150o = 2 * R^2 - 2 * R^2 * (-корень(3)/2) = 

R^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3))

Итак, А1А6 = корень(8 * (2 + корень(3)))

          А1А7 = 2 * корень(8)

sin 15o = корень ((1 - cos30o)/2) = корень ((1 - корень(3)/2)/2)=

корень(2-корень(3))/2

Таким образом, искомая площадь

S = A1А6 * А1А7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень (3))) * 2 * корень(8) * корень (2 - корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4