На рисунке 305 в треугольники АВD ЯЯи СВD вписаны окружности центрами О1 и О2 соответственно. Докажите, что угол О1DO 2-прямой.​

Добрый день! Рад быть вашим школьным учителем и помочь разобраться с вопросом.

Доказательство того, что угол О₁ДО₂ является прямым, заключается в применении свойств вписанных углов и хордальных углов окружности.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник АВD и окружность с центром О₁, вписанную в него. По свойству вписанных углов, угол АО₁Д будет равен половине центрального угла, опирающегося на дугу АД:

∠АО₁Д = ½ ∠АД.

Шаг 2: Аналогично, в треугольнике СВD угол О₂ДС будет равен половине центрального угла, опирающегося на дугу СД:

∠О₂ДС = ½ ∠СД.

Шаг 3: Теперь нам нужно доказать, что ∠АО₁Д и ∠О₂ДС имеют сумму 180° (то есть доказать, что они смежные углы).

Для этого рассмотрим диагональ АС, которая проходит через точку Д. Она является общей для треугольников АВD и СVD.

Шаг 4: Посмотрим на хордальный угол, опирающийся на эту диагональ, внутри окружности с центром О₁.

Угол, образованный хордой АС и хордой, соединяющей две точки касания окружности О₁ с хордой АС (точки ЯЯ), будет равен половине центрального угла, опирающегося на дугу АД. Обозначим этот угол как ∠Яоя.

Шаг 5: Так как хорда АС проходит через точку Д и имеет хордальный угол ∠Яоя, то этот угол также должен быть равным углу О₁ДА, так как они являются вертикальными углами:
∠О₁ДА = ∠Яоя.

Шаг 6: Аналогичным образом, в окружности с центром О₂, угол ∠О₂СД будет равен половине центрального угла, опирающегося на дугу СД, и таким же образом мы получаем, что:
∠О₂СД = ∠Яоя.

Шаг 7: Таким образом, из шага 5 и шага 6 мы видим, что: ∠О₁ДА = ∠О₂СД.

Шаг 8: Вспомним, что в смежных углах (углы на разных сторонах, но образованные двумя пересекающимися прямыми линиями) сумма углов равна 180°.

В нашем случае, ∠О₁ДА и ∠О₂СД являются смежными углами и равны друг другу, поэтому их сумма равна 180°.

Шаг 9: Таким образом, мы доказали, что угол О₁ДО₂ является прямым.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас остались вопросы или нужно разобрать еще какие-либо темы, пожалуйста, обращайтесь! Я всегда готов помочь.