В треугольнике ABC точка M делит сторону BC в отношении 1: 2, считая от вершины B, точки B1 и C1 выбраны на прямых AB и AC соответственно так, что AB1 = 2/3AB и AC1 = 4/3 AC , а M1 - это точка пересечения прямых AM и B1C1. Найти отношение AM1: AM и B1M1: M1C1.

1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если описать окружность вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы, а сама гипотенуза будет диаметром этой окружности. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Вершина A лежит на окружности, середина противолежащей стороны BC - точка О, центр окружности. Значит медиана AO - радиус описанной окружности. D = 60 см отсюда R = 30 см.

 

2. Биссектриса делит угол ABC на два равных угла по 45°, угол AHB = 65° ( по условию ), значит угол BAC = 180 - ( 45 + 65 ) = 70°.

Угол BCA = 180 - ( 90 + 70 ) = 20°.

 

1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.

 

Здесь

 

 

R - искомый радиус окружности.

 

Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Остальные два угла известны по условию задачи.

 

 

Подставим в (1)

 

 

сократим на 2 обе части

 

R=3.

 

2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС

 

Пусть

 

 

180=x+x+36

180=2x+36

2x=180-36

2x=144

x=72

Так как AD - биссектриса, то

 

 

 

Теперь знаем два угла в треугольнике ADC.

 

 

По той же теореме о сумме углов в треугольнике

 

 

 

 

Получается, что

 

 

Значит два угла в треугольнике ACD - равны, поэтому треугольник равнобедренный.