Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки 4 см и 6 см. найдите радиусы описаной и вписаной окружности.

радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть 5. 

радиус вписанной окружности находится так

по свойствам касательных из одной точки, и с учетом прямого угла, стороны будут равны 10, 6 + r, 4 + r;

из теоремы пифагора

(r + 6)^2 +(r + 4)^2 = 10^2;

r^2 + 24*r - 48 = 0; r = 8*корень(3) - 12;  

Ну халява! куча очков за устные в одно действие. 3. как обычно в теореме синусов bd/ab = sin(30°)/sin(45°) = √2/2; 4. площадь abc равна 84. площадь bmc составляет 1/3 от площади abc, и равна 28. пара замечаний. медианы делят треугольник на 6 треугольников, одинаковых по площади. я это тут не буду доказывать, вам это показывали. площадь abc можно легко сосчитать по формуле герона p = (13 + 14 + 15)/2 = 21; p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6; s^2 = 21*7*6*8 = (84)^2; но есть и более простой способ, если "слегка присмотреться", то можно заметить, что такой треугольник можно составить из двух прямоугольных треугольников со сторонами 5, 12, 13 и 9, 12, 15. то есть высота к стороне 14 равна 12.

Треугольники амв и cmd подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника. в нашем случае: < abd=< bdc как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ав и dc секущей bd < bac=< acd как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ав и dc секущей ас для подобных треугольников можно записать: dc: ab=mc: ma пусть мс будет х, тогда ма будет 25-х. запишем отношение сторон в виде: 24: 16=x: (25-x) 24(25-x)=16x 600-24x=16x 40x=600 x=15 мс=15 см