В СЕРЕДИННОМ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕ СТОРОНЫ АС ТРЕУГОЛЬНИКА АВС ОТМЕЧЕНА ТАКАЯ ТОЧКА О, ЧТО ОС=ОВ.ДОКАЖИТЕ, ЧТО ТОЧКА О-ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ , ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АВС

Отрезки касательных BP и BQ  равны по свойству касатльной проведенной к оружности из одной точки . Значит треугольник BPQ -равнобедренный с боковой стороной 40.
Обозначим точку пересечения прямой ВО с окружностью буквой К, с отрезком PQ буквой М.
Пусть PM=x, тогда MQ тоже х ( диаметр перпендикулярный хорде делит её пополам) по теореме Пифагора из треугольника OMQ  R²=18²+x²
Из треугольника PBM   BM²= 40²-x²=1600-R²-324=1276-R².
Теперь надо применить Свойство касательной и секущей.
Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
Но выражения очень большие.

Обозначим прямоугольник АВСД. Диагональ АС. На неё из вершины В опущен перпендикуляр ВК, и по условию АК=9, КС=16. ВК это общая высота в прямоугольных треугольниках АВК и СВК. Отсюда по теореме Пифагора АВ квадрат-АК квадрат=ВС квадрат-КС квадрат. Или АВ квадрат-81=ВС квадрат-256. Отсюда ВС квадрат=АВ квадрат+175.  В треугольнике АВС также АВ квадрат+ ВС квадрат= АС квадрат. Или АВ квадрат+ВС квадрат=(9+16)квадрат. АВ квадрат+ ВС квадрат=625. Подставим сюда ранее найденное выражение для ВС квадрат и получим АВ квадрат+(АВ квадрат+175)=625. Отсюда АВ=15. ВК=корень из(АВ квадрат-АК квадрат)=корень из(225-81)=12. Искомый тангенс угла ВАК, tg=ВК/АК=12/9=4/3.