Дано : AB и AC - касательные. Доказать : OA - биссектриса угла BOC ​

1. ∠ABD = ∠AMK как соответственные при пересечении параллельных прямых BD и МК,

∠А - общий для треугольников ABD и AMK, значит

Δ ABD подобен ΔAMK по двум углам.

AB : AM = BD : MK

AB : 32 = 4 : 8

AB = 32 · 4 / 8 = 16 см

2. ∠ОАВ = ∠ОМК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и МК,

∠О - общий для треугольников АОВ и МОК, значит

ΔАОВ подобен ΔМОК по двум углам.

АB : MK = AO : MO

AB : 10 = 8 : 20

AB = 10 · 8 / 20 = 4

3. AD : AB = 6 : 15 = 2 : 5

AK : AC = 8 : 20 = 2 : 5

∠A - общий для треугольников ADK и АВС, значит

ΔADK подобен ΔABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

DK : BC = AD : AB = 2 : 5

DK : 30 = 2 : 5

DK = 30 · 2 / 5 = 12 см

4. Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия:

k² = S₁ : S₂ = 64/81

k = √(64/81) = 8/9

a₁ : a₂ = 8 : 9

Из условия задачи не ясно, какому из треугольников принадлежит сторона, равная 8. Рассмотрим два случая:

1) a₁ = 8

8 : a₂ = 8 : 9

a₂ = 8 · 9 / 8 = 9

2) a₂ = 8

a₁ : 8 = 8 : 9

a₁ = 8 · 8 / 9 = 64/9 = 7_1/9

     

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью    основания угол 45°. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды  с  серединой бокового ребра, равен 3 см. Найдите: а) боковое ребро пирамиды ;                                                                                     б) боковую поверхность пирамиды.                                                                          - - - - - - -      

Дано :

Правильная пирамида PABC  ( P -вершина пирамиды ) ;                                               PO ⊥  (ABC)   ( О - центр  ΔABC ) ;

PM= BM ,  PN = ON  , MN = 3 см ;

∠PAO =∠PBO=∠PCO =45° .                                                                                  PAO =∠PBO=∠PCO                                                                                                   - - - - - - -                                                                                                                           а) PA =PB=PC  - ?                                                                                                                        б) S бок - ?  

ответ : а) 6√2 см  ,  б)   27√15 (см³ )

Объяснение:   * * * Пирамида правильная , значит ее основание правильный многоугольник (в данном случае равносторонний треугольник)  и ее высота проходит через центр основания. * * *

Для удобства обозначаем AB =BC = CA = a . Продолжаем BO , получаем  точку  H ∈ [AC]  и  эту точку соединяем с вершиной  пирамиды P ,   PH _ апофема .

ВО = (2/3)*BH =(2/3)*(a√3)/2 = a√3 / 3                  || = a / √3   ||                                                             || ВО = R  ( радиус окружности описанной около равностороннего треугольника ABC ) ||    

С другой стороны  ВО = 2*MN =2*3 см = 6 см  (в  ΔPOB   MN средняя линия →  MN =BO/2 ,   MN || BO ) .  Прямоугольный ΔPOB  еще и равнобедренный , т.к. по условию задачи  ∠PBO= 45° .  

PO = ВО ;   PB =ВО√2 = 6√2 см        ||  PB = √(PO² + ВО²)  ||                            - - -

б) S бок - ?

S бок =3*S(ΔABC)  =3*(a*PH /2) = 3a*PH /2   ||  3a -периметр основания  ||

Апофема  PH  определим из  ΔPOH по теореме Пифагора :

PH =√ (PO²+ОH²) =√ ( ВО² + (ВО/2)² ) = (ВО√5)/2 =(6√5)/2 см =3√5 см.

S бок =3*6√3) *3√5 /2  = 27√15 (см³ )

* * * OH - радиус вписанной в треугольник окружности  * * *

* * *  PH еще можно определить из определенного ΔPAH    * * *

рисунок :  см приложение