Знайдіть площу рівнобічної трапеції, якщо один з її кутів у три рази більший, а висота проведена з вершини тупого кута, ділить основу на відрізки 10 і 16 см

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду,   лежит на её высоте.

Формула радиуса вписанной  окружности  для тетраэдра 

По этой формуле

Подробное решение.(см. рисунок вложения) 

Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды,  SM - апофема. 

 ОН и ОК - радиусы вписанного шара, 

Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.

∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды. 

 НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности), 

Так как тетраэдр  правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного  треугольника со стороной √6.

SM=AM=√6•√3/2= 

Радиус НМ вписанной в основание окружности равен AM/3=√2/2

КM=НM= 

SK=SM-KM=3√2/2-√2/2=√2

∆SHM подобен ∆SKO ⇒

⇒

⇒

4r=2

r=0,5

1) Вначале рассмотрим тр-ки АВК и ДВМ. Они прямоугольные, т. к. ВК и ВМ - перпендикуляры по условию.
АВ=ВС - у ромба все стороны равны между собой.
Угол А = углу С - как противоположные углы ромба.
Значит тр-ки равны по гипотенузе и острому углу.
В равных тр-ках соответственные стороны равны, т. е. ВК=ВМ. АК=МС
2) Теперь рассмотрим тр-ки КВД и ДВМ.
Они прямоугольные, ВД - общая сторона.
ВК=ВМ из п. 1. Значит тр-ки равны по гипотенузе и катету.
Отсюда КД=ДМ. А против равных сторон в равных тр-ках лежать равные углы, т. е. угол КВД=углуДВМ. Вывод ВД - луч, который разделил угол КВД на два равных угла, т. е. ВД-биссектриса, ч. т. д.