ів Через середину M сторони AD квадрата ABCD до його площини проведений перпендикуляр MK завдовжки 6√3 см. Сторона квадрата дорівнює 12 см. Обчисліть площу трикутника AKB.

Через середину M стороны AD квадрата ABCD к его плоскости

проведен перпендикуляр MK длиной 6√3 см. Сторона квадрата

равен 12 см. Вычислите площадь треугольника AKB.

Объяснение:

ΔМАК-прямоугольный , т.к МК⊥(АВС). М-середина стороны квадрата ⇒МА=6 см. По т. Пифагора КА=√( МК²+МА²)=√(36*3+36)=12(см).

Т.к. проекция МА⊥АВ прямой лежащей в плоскости  ( АВСD-квадрат), то и наклонная КА⊥АВ, по т. о 3-х перпендикулярах.

ΔАКВ-прямоугольный ,  S=1/2*a*h , S=1/2*АВ**КА=1/2*12*12=72( см²)

Рассмотрим ΔABH.
Он прямоугольный (BH - высота)
Найдём ∠BAH = 90° - ∠ABH = 90° - 40° = 50°

∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 40° + 10° = 50°

∠BAH = ∠ABC = 50° ⇒ ΔABC - равнобедренный.

Угол ∠BCH из ΔBCH = 90° - ∠HBC = 90° - 10° = 80°

CD - высота, проведённая к AB
AB в ΔABC является основанием ⇒ CD не только высота, но и биссектриса ⇒ ∠BCD = ∠DCA = 80°/2 = 40°

Рассмотрим ΔBOC.
∠BCD = ∠BCO = 40°
∠HBC = ∠OBC = 10°

Сумма углов треугольника равна 180° ⇒ ∠BOC + ∠OBC + ∠BCO = 180°
∠BOC + 40° + 10° = 180°
∠BOC = 180° - 50°
∠BOC = 130°

Треугольник основания - тупоугольный, ⇒ центр описанной вокруг него окружности лежит вне его плоскости. 

Если все ребра пирамиды наклонены к основанию под равным углом, их проекции равны радиусу описанной окружности, следовательно, равны между собой.  

По т.синусов 2R=a/sin150°=2а.  ⇒ R=а. 

Обозначим центр описанной окружности О. 

Тогда в прямоугольном ∆ АМО ∠МАО=45°, и ∠АМО равен 90°-45°=45°. ∆ АМО равнобедренный ⇒МО=АО=R. Высота МО=R=a.

---------

Рисунок для наглядности  дан не совсем соразмерным условию.