Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и CD в точках K и M соответственно. Известно, что AB=4, AK=6 и KC=1. Доказать, что AK=AM и найти периметр четырехугольника AKCM.

Если центр окружности соединить с вершинами данного треугольника, то он (данный треугольник) поделится на 3 новых треугольника. Теперь площадь исходного треугольника можно представить в виде суммы площадей 3х новых треугольников S= s1+ s2+ s3; Пусть стороны исходного треугольника равны x y и t, тогда x+ y+ t= 16; s1= x/2* h; s2= y/2* h; s3= t/2* h; у всех трёх треугольников h является радиусом (по свойству касательной к окружности). Если по условию x+ y+ t= 16, то x/2+ y/2+ t/2= 16/2= 8; S= s1+ s2+ s3= x/2* h+ y/2* h+ t/2*h= h(x/2+ y/2+ t/2)= 2*8= 16

Точка М равноудалена от АС и ВС, т.е. находится на равном от этих сторон расстоянии.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной орезка, проведенного перпендикулярно. 

   МК⊥АС, МН⊥ВС и  КМ=МН

В прямоугольных  ∆ АКМ и ∆ ВНМ равны острые углы А = В  ( углы при основании равнобедренного треугольника), значит, равна и другая пара острых углов: ∠КМА=∠НМВ. 

Катет КМ=катету МН ( по условию)  

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.=> 

∆ АКМ =∆ ВНМ , следовательно, АМ=ВМ. 

∆ АМС = ∆ ВМС   по двум сторонам  и углу между ними. =>

∠СМА=∠СМВ, они смежные и равны 180°:2=90° .⇒

СМ - проведена из вершины угла треугольника к противоположной стороне, перпендикулярна ей, следовательно, СМ - высота треугольника АВС