На сторонах BC и CD ромба ABCD взяты точки M и N соответственно, отличные от точек A, B, C и D. Оказалось, что треугольник AMN равносторонний, и при этом MN=AD. Найдите угол ABC.

Условие задачи дано с ошибкой. Должно быть так:
В ΔАВС АВ = 15,  АС = 20,  ВС = 32.  На стороне АВ отложен отрезок АD = 9 см,  на стороне АС отрезок АЕ = 12 см. Найти DЕ и отношение площадей треугольника АВС и АDЕ.

AD : AB = 9 : 15 = 3 : 5
AE : AC = 12 : 20 = 3 : 5
∠А - общий для треугольников АВС и ADE, значит
ΔАВС подобен ΔADE по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Коэффициент подобия:
k = 3/5
DE : BC = 3 : 5
DE : 32 = 3 : 5
DE = 32 · 3 / 5 = 19,2
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Sabc : Sade = 9 : 25

пусть точки А1 и А2 принадлежат прямой а

точки В1 и В2 принадлежат прямой б

с пересекает а в точке О1

с пересекает б в точке О2

а параллельна б

угол А1О1С=20 градусов

угол А1О1А2 развернутый и равен 180, тогда угол А2О1С смежный с углом А1О1С и равен 180-20=160

А1О1С и О2О1А2 вертикальные, значит они равные и равны 20 

А2О1О2 и В1О2О1 внутренние накрест лежащие и тоже равны между собой по 20

В1О2О1 и В2О2С вертикальные и равны 20

А2О1С и О2О1А1 вертикальные и равные, равны по 160

А1О1О2 и В1О2О1 внутренние накрест лежащие, поэтому равные и равны по 160

В2О2О1 и В1О2С вертикальные, равны по 160