В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВЕ и СМ. Найдите угол ВЕМ, если угол ВАС равен 60 градусов

3√3/2 см.

Объяснение:

Если тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ещё не изучены, можно воспользоваться этим

1. Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, тогда длина гипотенузы с = 2R = 2•3 = 6(см).

2. По условию один из острых углов треугольника равен 60°, тогда второй острый угол равен 90° - 60° = 30°. Напротив него лежит катет, равный половине гипотенузы, а = 6:2= 3 (см).

3. По теореме длина второго катета b = √(36 - 9) = √27 = 3√3(см).

4. S = 1/2ab,

S = 1/2• c • h, тогда

1/2•a•b = 1/2• c • h,

ab = ch,

h = (ab)/c = (3•3√3)/6 = 3√3/2 (см).

Все этапы построения показаны на рисунках приложения. 

Этап 1) Вне прямой а отмечаем точку О. 

Из О на прямой а с циркуля произвольного традиуса отмечаем точки 1 и 2. 

Из этих точек, как из центров, проводим две окружности так, чтобы они пересеклись по разные стороны от прямой а. Соединим точки пересечения окружностей прямой. Точку пересечения этой прямой с прямой а обозначим 3. 

–––––

Этап 2)  Из т.О радиусом, равным длине отрезка О3, проведем окружность. 

Из т.3 тем же радиусом на проведенной окружности отметим точку 4. Стороны треугольника 4О3 равны радиусу, он - равносторонний, поэтому угол 4О3=60°

––––––––––

Этап 3) Продлим радиус О4 (удобно продлить на его длину) и отметим точку 5. Для данной задачи точка 5 будет лежать на прямой а, т.к. в прямоугольном ∆ 3О5 с острым углом при т.О=60° гипотенуза О5 равна двум радиусам ( двум катетам О3).

Общепринятым построения перпендикуляра к прямой проведем прямую, проходящую через т.4 и перпендикулярную к отрезку О5 (чертим окружности с центрами в т.О и т.5, точки их пересечения 6 и 7 соединяем).  Отмечаем прямую а1. Она перпендикулярна радиусу О4 и повёрнута вокруг т.О на 60° по часовой стрелке.