А2. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. А = 75о, С = 35о. а) Докажите, что треугольник BDC - равнобедренный. б) Сравните отрезки AD и DC.

Я думаю, что в условии есть ошибка, задачу надо записать так:

В треугольнике ABC проведена биссектриса ВD.

Угол A=75 градусов,угол C=35 градусов.

а) Докажите, что треугольник BDC-равнобедренный.

б) Сравните отрезки AD и DC.

Рассмотрим ΔАВС. ∠В=180-∠А-∠С=180-75-35=70°. ∠DВС=1/2∠АВС=35°⇒

∠DВС=∠С,  ΔВDС является равнобедренным, что и требовалось доказать. 

В ΔАВD ∠А больше ∠АВD, значит ВD больше АD, ВD=DС⇒

DС больше АD.

Как всегда, не могу удержаться. 

Перпендикулярное боковым ребрам сечение - это треугольник со сторонами 37, 15 и 26. Если считать его площадь по Герону, она равна 156. Предоставляю это проделать автору задачи.

А вот как это можно сделать без сложных вычислений. Берем прямоугольный треугольник со сторонами 12, 35, 37. От вершины прямого угла вдоль катета 35 откладываем 9 и соединяем с противоположной вершиной - получился прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9 и гипотенузой 15 (подобный "египетскому" со стронами (3, 4, 5)). А вот оставшийся треугольник имеет стороны 15, 37 и 35 - 9 = 26; : (этот треугольник является "разностью" двух Пифагоровых треугольников (12, 35, 37) и (9, 12, 15)). Итак высота к стороне 26 равна 12, и площадь сечения равна 26*12/2 = 156;

Периметр сечения равен 15 + 26 + 37 = 78; поэтому боковое ребро равно 156/78 = 2; (ясно, что боковые грани - параллелограммы имеющие общую сторону - боковое ребро, и высоты к этой стороне как раз равны сторонам треугольника в перпендикулярном сечении. Собственно, это они и есть :))) поэтому площадь боковой поверхности равна периметру перпендикулярного сечения, умноженному на боковое ребро).

ответ 2.

 

Гораздо более интересный вопрос - а случайно ли, что периметр сечения в 2 раза меньше площади? Это означает, например, что радиус вписанной в него окружности равен 4, то есть выражается целым числом :)))

 

ладно, все равно надо очки набирать, так хоть с пользой.

На рисунке представлена ПРОИЗВОЛЬНАЯ описанная трапеция с заданными основаниями a и b. Я не стану отвелекаться на очевидные вещи вроде равенства углов, отмеченных одинаковыми буквами греческого алвавита, уж это то вы можете доказать (я надеюсь). Сразу запишу очевидную систему из 2 равенств, которая исчерпывает задачу.

a = r*(ctg(альфа) + ctg(бета));

b = r*(tg(альфа) + tg(бета));

Напоминаю, что альфа и бета - ПОЛОВИНЫ углов при большем основании а.

Для упрощения анализа я сделаю вот что - обозначу x = tg(альфа); y = tg(бета); и буду считать (если это понадобится, это не ограничивает общность), что x > y;

a/r = 1/x + 1/y;

b/r = x + y;

Ясно видно, что в системе 3 неизвестных, и больше условий взять не откуда. Однако кое-что еще можно сделать.

a/r = (x + y)/(x*y) = (b/r)/(x*y);

x*y = b/a;

Я запоминаю это соотношение и подставляю в  b/r = x + y; вот это y = b/(a*x);

Получается после некоторых простых действий

r = x*a*b/(a*x^2 + b);

Вот теперь можно эту формулу повертеть.

Во-первых, ПРЕДПОЛОЖИМ, что x = y, то есть углы при основании а равны (равнобедренная трапеция).

x^2 = b/a; подставляем в выражение для радиуса, получаем

r = корень(a*b)/2;

А что получится, если угол 2*альфа равен 90 градусов (прямоугольная трапеция)? В этом случае x = tg(45) = 1;

r = a*b/(a + b);

Оба эти случая очень легко решаются без применения тригонометрических соотношений, с использованием формул не сложнее теоремы Пифагора (хотя какая это тригонометрия, все элементарно), ответы буду такие же.

Задачи можно варьировать, как угодно. Например, выбирать разные соотношения между углами, сторонами и прочее. Но в конечном итоге всегда надо получить достаточно данных для применения формулы r = x*a*b/(a*x^2 + b);

 

Чтобы "не нарушать правила", подставляю 9 и 16 для случая равнобедренной трапеции, получу r = корень(9*16)/2 = 6;

В случае прямоугольной трапеции r = 144/25 = 6 - 6/25; что на 4% меньше :)))

Интересно было бы исследовать функцию r(x); но лень и спать пора после футбола :)))