Сосуд имеет форму полусферы радиуса 6 см, дополненной цилинром, радиус основания которого 6 см. Какой высоты должен быть цилиндр, чтобы объем сосуда был равен 1800 см^3?

ответ:  S тр. ABCD = 300 ед.кв.

Объяснение:  Проведём из т.A к большему основанию BC высоту AM.

Отрезок DC не только боковая сторона прямоугольной трапеции ABCD, но и высота этой трапеции.

DC ⊥ BC;  AM ⊥ BC ⇒ DC ║ AM ⇒ CD = AM = 15 ед.

Т.к. AM - высота ⇒ ΔAMB - прямоугольный.

Найдём катет MB по т.Пифагора:

MB = √(AB² - AM²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 ед.

CM = AD, т.к. AM отсекает от трапеции ABCD прямоугольник DAMC.

Пусть x ед. меньшее основание трапеции (AD), тогда (x+20) ед. равно большее основание трапеции (BC). AB+BC+CD+AD=80 ед.

25 + (x + 20) + 15 + x = 80; 60 + 2x = 80; 2x = 20; x = 10

Если меньшее основание AD прямоугольной трапеции ABCD составляет 10 ед. ⇒ большее основание BC = 30 ед.

Формула площади нашей прямоугольной трапеции : (AD+BC)/2*AM.

⇒ S тр. ABCD = (10 + 30)/2 * 15 = 40/2 * 15 = 20 * 15 = 300 ед.кв.

Острый угол трапеции равен 180° - 135° = 45°
опустив высоту из тупого угла трапеции на большее основание, видим, что высота трапеции, равная перпендикулярной боковой стороне, равна разности большего и меньшего оснований: 12дм - 8дм = 4дм, т.к. получившийся треугольник равнобедренный .
Наклонная боковая сторона равна 4дм : cos45° = 4 : 0.5√2 = 4√2 (дм)
Периметр трапеции:
8 + 12 + 4 + 4√2 = 24 + 4√2 (дм) ≈ 24 + 5,41 = 29,41 (дм)
Площадь трапеции  равна полусумме оснований, умноженной на высоту
0,5(12 + 8)· 4 = 40(дм²)