Хорды mn и kp пересекаются в точке t. Найдите BN , если at = 6 , pt = 8, а длина MT в три раза меньше длины NT

Если две хорды окружности, MN и KP пересекаются в точке T, то

произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой

хорды MT*TN=KT*TP и 3МТ=TN из этого слудеут

MT*3MT=KT*TP,

4MT=6*8=48

МТ=12

TN= 3*12=36

Разберемся с углами:  1. С=(В-А):2   2. С=(В+А):5    3. С+В+А=180   из 3.⟹ что В+А = 180-С подставив это в 2. получаем С=(180-С):5 и решаем уравнение с одним неизвестным:   5С=180-С,    6С=180 ⟹  С= 30   тогда 1. и 2. будут выглядеть так:   30=(В-А):2   и   30= (В+А):5  выразим В из первого уравнения  В=60+А  и подставим его во второе 30= ( 60+А+А):5 отсюда А= 45  и, вернувшись  к В=60+А  получим В=105

  Итак: ∟А= 45°, ∟В=105°, ∟С= 30°  Тогда в ΔАВД:    ∟АВД= 45° и АД=ВД=6    В ΔДВС:  т.к. он прямоугольный (напоминаем, что ВД по условию высота)  и ∟С= 30°, то ВС=12 (в прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет в два раза меньший гипотенузы) тогда по теореме Пифагора  ДС= 6√3    Получаем, что т.к. АС=АД+ДС, то АС= 6+6√3=6(1+√3)

Площадь треугольника АВСД найдем как   S= АС*ВД:2     S= 6(1+√3)*6:2=18(1+√3) или S=18(√3+1)

Полное условие задания:

В параллелограмме ABCD, из вершины тупого угла В Δ ABC проведен перпендикуляр BK к стороне AD (K ∈ AD) и BK = 0,5•AB. Найдите углы параллелограмма.

ВК = АВ/2

В прямоугольном ΔАВК: катет ВК, лежащий против ∠ А, равен половине гипотенузы АВ   ⇒  ∠А = 30°

∠ABC + ∠BAD = 180° - как односторонние углы при BC || AD и секущей АВ  ⇒ ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 30° = 150°

∠А = ∠С = 30° , ∠B = ∠D = 150°

ответ: 30° , 150° , 30° , 150°