Найди длину окружности C и площадь круга S, если окружность вписана в квадрат, площадь которого равна 256 м2. C=π м; S=π м2.

В данном нам равнобедренном треугольнике abc, высоты (они же биссектрисы и медианы), проведенные из равных углов (при основании) РАВНЫ. Проведем эти высоты AL и CK. Расстояния от точки d на основании АС - это отрезки dm и dn, параллельные высотам CK и AL соответственно. Прямоугольные треугольники АКС и ALC равны, так как АС - общая гипотенуза, катеты КС и AL - равны и равны углы LAC и КСА (так как AL и КС биссектрисы). Итак, в этих равных треугольниках линии dm и dn образуют подобные треугольники Adm и AKC, Cdn и CAL. Из их подобия имеем следующие отношения:

1)КС/dm=AC/Ad; 2)KC/dm=AC/dC. dm = 12-dn (дано) а  Ad = АС-dC. Подставляем и имеем:

из 1): KC/12-dn = AC/AC-dC отсюда KC*(AC-dC) = AC*(12-dn) далее KC*AC - KC*dC = 12AC - AC*dn. Из 2): КС*dС = AC*dn. Из второго вставляем в первое и получаем:

КС*АС - АС*dn = 12АС - АС*dn или КС*АС = 12АС. И окончательно КС = 12, что и надо было найти.

 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка М середина ребра SA, точка К середина ребра SC. 

Найти угол между плоскостями BMK  и  ABC, если  AB=4, SC=6. 

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, и вершина S пирамиды проецируется в точку пересечения  O диагоналей квадрата АВСD.

Все ребра правильной пирамиды равны. Т.к. М и К делят противоположные ребра пополам, ВМ=ВК.  

Основание МК  треугольника МВК- средняя линия треугольника АSC и поэтому делит высоту SO пирамиды пополам. Пусть это будет точка Н.

Необходимо найти величину двугранного угла  между плоскостями ВМК и АВС.

(Небольшое отступление: Плоскость, содержащая треугольник МВК, пересекается с плоскостью, содержащей ∆ АВС, по ребру mk.  АС и mk параллельны,  ВО⊥АС и mk. НВ⊥mk по т. о трех перпендикулярах.

Величина двугранного угла равна его линейному углу.  Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, исходящие из одной точки ребра двугранного угла и перпендикулярные  ему).

–––––––––––

Искомый угол - линейный угол НВО двугранного угла между плоскостью МВК и АВС. 

ВО- половина диагонали ВD

BD как диагональ квадрата  равна а√2=4√2

ВО=2√2

Из ⊿ SOB  по т.Пифагора 

SO=√(SB² -BO²) =√(36-8)=√28=2√7

НО=SO:2=√7

tg ∠НВО=НО:ВО=(√7):2√2=(√14):4

tg ∠НВО= ≈0,9354. Это тангенс угла ≈ 43º5'