Сделайте примеры из окружающей среды по следующим следствиям: 1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

    1.  В призме ABCA1B1C1   основания -  равносторонние треугольники, а боковые грани - прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Угол между плоскостями АВС и А1ВС равен линейному углу между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к одной точке на ребре ВС. Это угол А1НА, т.к. высота  АН основания призмы перпендикулярна АВ,  является проекцией наклонной А1Н. По т.о 3-х перпендикулярах А1Н⊥ВС. ∆ АА1Н - прямоугольный.

А1А =А1С:2=2 см (противолежит углу 30°). АС=А1С•cos30°=2√3 см. АН=АС•sin60°=2√3•√3/2=3 см. tg∠A1AH=2/3

                                 *  *  *

2. S(CA1B)=A1H•BC:2.   A1H=√(AH²+AA1²)=√(2²+3²)=√13.   BC=AC=2√3. ⇒ S(CA1B)=0,5•2√3•√3=√39 см²

                                 *  *  *

3.  Данная призма прямая. По условию угол В1АВ=45°⇒ ВВ1=АВ•tg45°=2•1  В ∆ АВС катет ВС=АВ•sin30°=2•1/2=1. Катет АС=АB•cos30°=2•√3/2=√3.  Угол АСВ прямой.  АС - проекция А1С на плоскость ∆ АСВ.  По т. о 3-х перпендикулярах А1С⊥СВ. ⇒ ∆ А1СВ прямоугольный. По т.Пифагора А1С=√(AC²+AA1*)=√((√3)²+2)²=√7. S(A1CB)=0.5•A1C•CB=√7•1=0,5√7

                                     *  *  *

4. Призма ABCDA1B1C1D1 правильная, ⇒ АВСD - квадрат. АВ=А1В1=√S=√1.5. Ребра данной призмы равны ее высоте. Из прямоугольного СВВ1 по т.Пифагора диагональ боковой грани СВ1=√(BC²+BB1²)=√(1,5+64)=√65,5.   S(A1B1CD)=CD•CB1=(√1,5)•(√65,5)=√98,25 ≈ 9,912 см²

                                     *  *  *

5. Острый угол основания 60° ⇒ меньшая диагональ ромба  делит его на два равносторонних, поэтому равна его стороне и является проекцией меньшей диагонали призмы.  ВD=6 см. Большая диагональ основания АС равна удвоенной высоте правильного ∆ АВD. АС=2•АВ•sin60°=2•6•(√3/2)=6√3 см.

Угол В1DB=45°⇒ BB1=BD•tg45°=6 см. АА1 перпендикулярна основанию, ⇒ ∆ АА1С -  прямоугольный. По т.Пифагора А1С=√(AC²+AA1²)=√(36+108)=√144=12 см

а) В любой призме боковые грани - параллелограммы.  В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, а значит перпендикулярны и ребрам основания. Тогда боковые грани - параллелограммы с прямым углом, т.е. прямоугольники.

б) В правильной призме основания - правильный многоугольник, значит все ребра основания равны. Кроме того, правильная призма - прямая, значит ее боковые грани - прямоугольники.

Так как в любой призме боковые ребра равны, а в правильной еще и ребра основания равны, то боковые грани - прямоугольники с равными измерениями, то есть равные прямоугольники.