На сторонах ромба KLMN отмечены точки А, В, С, D - середины сторон KL, LM, MN и KN соответственно. Тогда четырехугольник ABCD является как минимум прямоугольником. Как доказать? ​

Объяснение:

ЗАДАЧА 6

ДАНО: ∆АВС прямоугольный, <С=90°, <А=60°, АС=4

НАЙТИ: АВ

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°

Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8

ОТВЕТ: АВ=8

ЗАДАЧА 7

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6

НАЙТИ: АВ

Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12

ОТВЕТ: АВ=12

ЗАДАЧА 8

ДАНО: ∆ АВС - прямоугольный, <А:<В=2:1, АВ=14, <С=90°

НАЙТИ: АС

РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°. Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и составим уравнение:

2х+х=90

3х=90

х=90÷3=30°

Итак: угол В=30°, тогда угол А=2×30=60°

Так как АС лежит напротив угла 30°, то АС=½АВ=½×14=7

ОТВЕТ: АС=7

ЗАДАЧА 9

ДАНО: ∆АВС прямоугольный: <С=90°, АС=ВС=10, АМ=СМ, МР перпендикулярно АС.

НАЙТИ: МР

РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.

МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.

Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5

ЗАДАЧА 10

ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, <А=30°, ВК - биссектриса <В=8

НАЙТИ: АС

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°

Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8

Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4

Итак: АК=8, СК=4.

Тогда АС=СК+АК=4+8=12

ОТВЕТ: АС=12

Ad = 2
---
ab₁² = ab² +bb₁²
ab₁² = 2² +2²
ab₁² = 8
ab₁ = 2√2
---
db₁² = db² +bb₁²
db₁² = ab² +ad² +bb₁²
db₁² = 2² + 2² + 2²
db₁² = 12
db₁ = 2√3
---
площадь треугольника b₁ad по формуле Герона
полупериметр
p = 1/2*(2 +  2√2 + 2√3) = 1 + √2 + √3
S² =  (1 + √2 + √3)(-1 + √2 + √3)(1 - √2 + √3)(1 + √2 - √3)
S² = ((√2 + √3)² - 1)(1 + √2 - √3 - √2 - 2 + √6 + √3 + √6 - 3)
S² = (2 + 2√6 + 3 - 1)(2√6 - 4)
S² = (2√6 + 4)(2√6 - 4)
S² = (2√6)² - 4²
S² = 4*6 - 16 = 24 - 16 = 8
S = 2√2 см²
Радиус вписанной окружности через площадь и полупериметр
r = S/p = 2√2/(1 + √2 + √3)
Можно попробовать избавиться от иррациональности в знаменателе, но не хочется.