1.Точки А и В лежат на окружности с центром в точке О. Угол АОВ равен 60 градусам. Найдите градусную меру дуги на которую он опирается.2. Точки С и К лежат на окружности. Градусная мера мешьшей дуги СК равна 100 градусам. Найдите градусную меру большей дуги СК нужно очень

1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.

 

Здесь

 

 

R - искомый радиус окружности.

 

Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Остальные два угла известны по условию задачи.

 

 

Подставим в (1)

 

 

сократим на 2 обе части

 

R=3.

 

2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС

 

Пусть

 

 

180=x+x+36

180=2x+36

2x=180-36

2x=144

x=72

Так как AD - биссектриса, то

 

 

 

Теперь знаем два угла в треугольнике ADC.

 

 

По той же теореме о сумме углов в треугольнике

 

 

 

 

Получается, что

 

 

Значит два угла в треугольнике ACD - равны, поэтому треугольник равнобедренный.

 

1. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Найдем угол A: 180 - ( 56 + 64 ) = 60°.

BC = 3√3 ( по условию ), противолежащий угол A = 60°.

По теореме синусов:

(3√3) / sin 60° = 2R

(3√3) / (√3/2) = 2R

6 = 2R

R = 3.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы при основании треугольника ABC: (180 - 36) / 2 = 72°.

Значит угол BAC = BCA = 72°.

AD - биссектриса, делит угол BAC на два равных угла: BAD = DAC = 36°.

В треугольнике ADC нам известны два угла: DAC = 36°, DCA = 72°. Найдем третий угол:

180 - ( 72 + 36 ) = 72. Значит треугольник ADC - равнобедренный, так как углы при его основании равны.