1) Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см. 2) Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3) Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. 4) Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠ВАС = 30°, О — центр окружности

Объяснение:

    1 . ABCDEF - правильний вписаний 6 - кутник ;  d = AD = 10 см ;

   а₆ = r = OA = 1/2 d = 1/2 * 10 = 5 ( см ) ;

   P = 6 * a₆ = 6 * 5 = 30 ( см ) ;   Р = 30 см .

    2 . КМ - сторона правильного тр - ника , вписаного в коло ,

   тому   h Δ = ( a₃ √3 )/2 = ( 12√3 * √3 )/2 = ( 12 * 3 )/2 = 18 ( см ) ;

   r = 2/3 *h Δ = 2/3 * 18 = 12 ( см ) ;   r = 12 см ; тоді довжина L

   дуги КМ буде :  L = ( π r n )/180 = ( π *12 *120 )/180 = 8π ≈ 25,12 ( см ) ;

          L = 8π ≈ 25,12 см .  

   3 . Суму кутів n - кутника обчислюють за формулою :

          K = 180°( n - 2 ) .  

    Маємо  180°( n - 2 ) = 1800° ;

                   n - 2  = 1800° : 180° ;  

                    n - 2  = 10 ;

                    n = 12 сторін .

W, V - центры

Проведем WK⊥AE, VL⊥AE

BK=1, DL=1 (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам)

AK=3, AL=6

Проведем WN⊥VL

Понятно, что W - середина AV, N - середина VL

WK=VN=NL=x

Rw =WB =√(WK^2+BK^2) =√(x^2+1)

Rv =VD =√(VL^2+DL^2) =√(4x^2+1)

WV =Rw+Rv (точка касания лежит на линии центров)

WV =√(VN^2+WN^2) => Rw+Rv =√(x^2+9)

√(x^2+1) + √(4x^2+1) = √(x^2+9)

x^2 +1 +4x^2 +1 +2√(x^2+1)√(4x^2+1) = x^2 +9

4(x^2+1)(4x^2+1) = (7-4x^2)^2    // при 7-4x^2 >=0 => x<=√7/2

16x^4 +16x^2 +4x^2 +4 = 49 -56x^2 +16x^4

76x^2 = 45 => x=√(45/76)

Rw =√(45/76 +1) =√(121/76) =11/2√19

Rv =√(4*45/76 +1) =√(256/76) =8/√19