очень В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 все ребра равны 1 Определите угол между ( AСC1) и (ABC ответ дайте в градусах, в виде целого числа (например, 20) 2) Известно, что АВСDA1B1C1D1 – куб Определить угол между (ABC1) и (AB1C) ответ дайте в градусах, в виде целого числа (например, 20) 3) В правильной четырехугольной пирамиде MАВСD длина бокового ребра равны √3, а сторона основания равна 2. Определите угол между (МСD) и (ABC). ответ дайте в градусах, в виде целого числа (например, 20) Рисунки по порядку заданий

Пусть у нас есть отрезок AB. Считаем, что он расположен в 1-й четверти координатной сетки и не параллелен осям координат (прочие положения отрезка рассматриваются аналогично).
Координаты концов отрезка: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂).
Допустим, что x₂>x₁.
Пусть C - середина отрезка AB с координатами (x, y).
Требуется выразить x и y через координаты точек A и B.

Определение координаты x.
Из точек A, B и C отпустим перпендикуляры на отрезок OX, точки пересечения с осью OX обозначим A₁, B₁ и C₁.

AA₁⊥OX
BB⊥OX
CC⊥OX

Т.к. C - середина отрезка AB, то AC=BC. Т.к. AA₁||BB₁||CC₁, то по теореме Фалеса A₁C₁=B₁C₁.
Значит, C₁ - середина отрезка A₁B₁.

Координаты точки A₁ равны (x₁;0).
Координаты точки B₁ равны (x₂;0).
Координаты точки C₁ равны (x;0).

Длина отрезка A₁C₁ равна x-x₁.
Длина отрезка B₁C₁ равна x₂-x.

Эти длины равны, т.е. x-x₁=x₂-x ⇔ 2x=x₁+x₂ ⇔ x = (x₁+x₂) / 2.

Т.о., координата x середины отрезка есть полусумма координат x концов отрезка.

Определение координаты y.
Выполняется аналогично, выполняя проекцию отрезка AB на координатную ось OY. y = (y₁+y₂) / 2

Т.о., координаты середины отрезка AB есть полусумма соответствующих координат концов отрезка.

C(x;y) = ((x₁+x₂) / 2; (y₁+y₂) / 2)

Когда грани пирамиды равнонаклонены к основанию, то
1) в основание можно вписать окружность (для треугольника это всегда можно сделать, но тут речь идет о любом многоугольнике в основании)
2) вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности
3) все апофемы (высоты боковых граней) равны между собой и их проекции на основание равны радиусу вписанной в основание окружности.
Все это легко увидеть, если заметить, что апофемы вместе с их проекциями на основание и высотой пирамиды образуют равные прямоугольные треугольники. (Они все имеют общий катет - высоту пирамиды, и равные острые углы - поскольку грани имеют равный наклон).
Радиус вписанной в основание окружности r = (5 + 12 - 13)/2 = 2;
Отсюда апофема равна 6 (потому что 2^2 + (4√2)^2 = 36)
далее можно двумя
1) Sбок = (5 + 12 + 13)*6/2 = 90;
2) Sбок = Sосн/cos(Ф); Sосн = 5*12/2 = 30; cos(Ф) = 2/6 = 1/3; Ф - угол наклона боковой грани. И снова получается 90 :) удивительно...