На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что AK=4, KC=5. Ее отразили относительно боковых сторон треугольника и получили точки L и M. Серединный перпендикуляр к отрезку LM пересекает прямую AC в точке P. Найдите длину отрезка PK

Окружность = 360°
1) 5+4 =9 столько частей в этих 360°
Меньшая дуга 360:9*4=40°*4=160°
Градусная величина этой дуги соответствует величине центрального угла ( на рисунке 1 это угол АОВ). 
Вписанный угол АСВ  равен половине центрального угла. 
160°:2=80° - под этим углом видна хорда из  любой точки на дуге АСВ
Если точку взять  на дуге по другую сторону хорды, то угол, под которым она будет видна, равен 
360°:9*5:2=100°. Но обычно имеется в виду острый угол. 
------------
2) 7+3=10 столько частей в двух дугах. 
360°:10*3=108° содержит центральный угол КОМ ( второй рисунок)
Вписанный угол МЕК равен половине градусной меры центрального угла. 
108°:2=54° - под этим углом видна вторая хорда. 
(Или, если точка расположена по другую сторону хорды, 
360:10*7:2=126°)

Объяснение:

Присоединению Казахстана к России предшествовали значитель­ные политические связи между ними. Русское государство проявляло заинтересованность в расширении своих государственных границ на Востоке. По мере централизации и усиления государственной власти значительно возросли возможности торгового обмена и других форм взаимоотношений с народами, соседствующими с восточными государствами. Завоевание Иваном IV Казанского (1552), Астраханского (1556) ханств, Юго-Западной Сибири1, установление Камского торгового пути облегчали непосредственные контакты и с Казахским ханством. Интерес Русского государства к Казахстану особенно возрос со 2-й половины XV—XVI вв., после установления торговых и дипломати­ческих отношений России со среднеазиатскими ханствами. Русское государство, заинтересованное в развитии транзитных торговых путей со среднеазиатскими ханствами через Казахстан и стремившееся обеспечить безопасность прохождения купеческих караванов, проявляло живой интерес к политической обстановке и взаимоотношениям Казахского ханства с соседними странами. Поэ­тому и московские государи стремились к установлению непосред­ственных связей с казахскими ханами. Большую роль в этом играли посольские связи. В 1573 г. в казахскую степь было направлено русское посольство по главе с Третьяком Чебуковым. Посольство имело задачу налаживания торговли с казахами. Однако дипломати­ческая миссия Чебукова не дошла до пределов Казахстана, так как была истреблена племянником сибирского хана Кучума Маметкулом. В 1577 г. русский посол Борис Доможиров, возвратившийся из Ногайской Орды, констатировал, что казахский хан, грозивший тогда ногаям и имевший связи с Ташкентом и Ургенчем, находился с«царем и великим князем в миру». В 1594 г. в Москву прибыло 1-ое казахское посольство.